On the development of algebraic numbers in power series (Q1509391)

Ist \(P\) ein Primdivisor eines algebraischen Zahlkörpers \(K(\omega)\) des Grades \(n\), so ist \(N(P)= p^k\), wo \(p\) eine reelle Primzahl und \(k\) die Ordnung von \(P\) bedeutet, und es geht in \(p\) eine bestimmte Potenz \(P^d\) von \(P\) auf, deren Exponent \(d\) als Grad von \(P\) bezeichnet wird. Dann kann man zuerst eine mod.\,\(p\) irreduktible ganze Funktion \(k\)-ter Ordnung mit Zahlkoeffizienten der Reihe \(0,1,2, \dots, p-1\) \[ \varphi(t) = t^k + a_{k-1} t^{k-1} + \dots + a_0 \] so bestimmen, daß\ die Kongruenz \(\varphi (t) \equiv 0\) (mod. \(P^M\)) für beliebig hohe Exponenten \(M\) eine Lösung \(t= \alpha\) in \(K(\omega)\) hat. Man kann dann weiter eine zweite ganze Funktion \(d\)-ter Ordnung finden: \[ \psi (\tau) = \tau^d +pC_{d-1} \tau^{d-1} + pC_{d-2} \tau^{d-2} + \dots + pC_0, \] deren Koeffizienten ganze ganzzahlige Funktionen von \(\alpha\) sind, und welche die Eigenschaft hat, daß\ die Kongruenz \(\psi (\tau) \equiv 0\) (mod. \(P^M\)) ebenfalls für beliebig hohe Potenzen von \(P\) durch eine nur die erste Potenz von \(P\) enthaltende Zahl \(\pi\) von \(K(\omega)\) befriedigt wird. Dann ist \textit{jede} Zahl \(\omega\) des Köpers eindeutig in die Reihe entwickelbar: \[ \omega \equiv A_r \pi^r + A_{r+1} \pi^{r+1} + \dots \qquad (\text{mod. } P^M), \] deren Koeffizienten ganzen Größen der Form sind: \[ A= u_0 + u_1 a +u_2 \alpha^2 + \dots + u_{k-1} \alpha^{k-1} \quad (0 \leqq U_i <p). \] Im allgemeinen kann die zweite Kongruenz einfach als eine binomische angenommen werden, nämlich immer dann, wenn \(d\) nicht durch \(p\) teilbar ist; ist hingegen \(d\) genau durch \(p^s\) teilbar, so ist die allgemeinere Form von \(\psi (\tau)\) der Untersuchung zu Grunde zu legen, und die Koeffizienten \(C_i\) können als ganze Funktionen von \(\alpha\) mit modulo \(p^{2s -1}\) reduzierten Zahlkoeffizienten gewählt werden. Diese aus der Idealtheorie abegeleiteten Sätze führen aber auch zu einer neuen Methode, die algebraischen Zahlen in vollkommener Analogie mit den algebraischen Funktionen in Potenzreihen zu entwickeln, aus welchen die den Zahlkörper beherrschenden Gesetze in Vollständigkeit und ausnahmsloser Allgemeinheit abgeleitet werden können. Sind nämlich \(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_k\) die Wurzeln der Gleichung \(\varphi (t) =0\) und \(\pi_1^{(i)}, \pi_2^{(i)}, \dots, \pi_d^{(i)}\) die Wurzeln der Gleichung \(\psi_i (\tau) =0\), deren linke Seite aus \(\psi (\tau)\) hervorgeht, wenn \(\alpha\) durch \(\alpha_i\) ersetzt wird, so erhält man \(\lambda =kd\) konjugierte Körper \(K(\gamma_1), K(\gamma_2), \dots, K(\gamma_{\lambda})\), und wenn \({\mathfrak p}\) ein in \(P\) enthaltenes Primideal des \textit{Galois}schen Körpers ist, der diese \(\lambda\) Körper und die \(n\) konjungirten Körper \(K(\omega_1), \dots, K(\omega_n)\) des gegebenen \(K(\omega)\) umfaßt, so ist \(\alpha \equiv \alpha_1\), \(\pi \equiv \pi_1^{(1)}\) (mod. \({\mathfrak p}^M\)). Es werden aber überhaupt die ersten \(\lambda\) konjugierten Körper \(K(\omega_1), \dots, K(\omega_{\lambda})\) in der Weise eindeutig auf \(K(\gamma_1), \dots, K(\gamma_{\lambda})\) abgeleitet, daß\ alle Kongruenzen nach dem Modul \(P^M\) in ebenfalls richtige Kongruenzen nach den Modul \({\mathfrak p}^M\) übergehen, wenn \(\omega_i\) durch \(\gamma_i\) ersetzt wird. Das Gleiche gilt für die andern Primdivisoren der reellen primzahl \(p\), und wenn z. B. in \(p\) drei verschiedene Primideale \(P,Q,R\) enthalten sind, so kann die linke Seite \(F(\omega)\) der Gleichung von \(\omega\) nach einer beliebig hohen Potenz von \(p\) in drei irreduktible Faktoren zerlegt werden: \[ F(\omega) \equiv F_1(\omega) F_2(\omega) F_3(\omega) \qquad (\text{mod.\,}{\mathfrak p}^M), \] welche drei verschiedene, den Primdivisoren \(P,Q,R\) entsprechende Systeme von konjungirten Abbildungskörpern \[ K(\gamma_1), \dots, K(\gamma_{\lambda}); \; K(\delta_1), \dots, K(\delta_{\mu}); \; K(\varepsilon_1), \dots, K(\varepsilon_{\nu}) \] liefern. Mit Hülfe dieser Theorie der Abbildungskörper können einige Fundamentalsätze der Idealtheorie in wesentlicher Weise vervollständigt werden. Ist \(P\) wieder ein Primteiler von \(p\) von der Ordnung \(k\) und dem Grade \(d\) und \(K(\gamma)\) der zugehörige Abbildungskörper, so ist die Körperdiskriminante \(K(\gamma)\) stets genau durch \(p^{k( \overline d -1)}\) teilbar, und ebenso groß\ ist der Beitrag, den die Körperdiskriminante \(K(\omega)\) von dem Primdivisor \(P\) empfängt. Hierin ist \(\overline d\), die sogenannte Verzweigungszahl von \(P\), gleich \(d\), wenn \(p\) nicht in \(d\) enthalten ist; wenn hingegen \(d\) durch \(p^s\) teilbar ist, so ist \(d< \overline d \leqq (s+1)d\). Die Körperdiskriminante \(K(\omega)\) ist die Norm des \textit{Verzweigungsdivisors} \[ {\mathfrak Z}_{\omega} = \prod_{(P)} P^{\overline d -1}, \] wobei das Produkt über alle Primdivisoren zu erstrecken ist, und wenn \({\mathfrak D}\) ein beliebiger Divisor ist, so besitzt das zugehörige Ideal \(I ({\mathfrak D})\) ein Fundamentalsystem, dessen Diskriminante \[ D= (N ({\mathfrak D}))^2 N({\mathfrak Z}_{\omega}) \] ist. Diese Sätze sind das genaue Analogon bekannter Theoreme der Theorie der algebraischen Funktionen, und das Gleiche gilt von den folgenden, welche den in einer zweiten funktionentheoretischen Arbeit des Verf. dargelegten Sätzen völlig parallel laufen. Ein System \((\xi^{(1)}, \dots, \xi^{(n)})\) ist dann und nur dann ein Fundamentalsystem für ein Ideal \(I({\mathfrak D})\), wenn es für jede Primzahl \(p= P^d Q^e R^f\) modulo einer beliebigen Potenz eines in \(p\) enthaltenen \textit{Galois}schen Primteilers \({\mathfrak p}\) in ``Partialsystme'' zerfällt. Diese Zerlegung in Partialsysteme bedeutet, daß\ die Matrix des Fundamentalsystemes reduktibel wird und mod. \({\mathfrak p}^M\) entsprechend der Zerlegung von \(p\) auf drei Partialmatrizen von den Ordnungen \(\lambda, \mu, \nu\) reduziert werden kann. Bildet man schließlich zu der Matrix des Fundamentalsystems für einen anderen Divisor \(\overline {\mathfrak D}\); und die Divisoren \({\mathfrak D}\) und \(\overline {\mathfrak D}\) sind durch die Gleichung \[ {\mathfrak D} \overline {\mathfrak D} =\frac{1}{{\mathfrak Z}_{\omega}} \] verbunden; dieses letzte Theorem ist das Analogon des \textit{Riemann-Roch}schen Satzes.