Some new theorems on the approximation of quantities with the aid of rational numbers. (Q1509393)

Verf. verschäft mehrere von \textit{Hermite} angegebene Ungleichungen in der Theorie der linearen Formen; er spricht eine Reihe von Sätzen aus, deren Beweise in der bei Teubner demnächst erscheinenden zweiten Lieferung seiner ``Geometrie der Zahlen'' enthalten sein werden: 1. Es seinen \(\varphi, \chi, \psi, \omega\) vier Linearformen mit drei Variablen \(x,y,z\) und reellen Koeffizienten für welche \(\varphi + \chi + \psi + \omega =0\) ist. Die Determinante der Koffizienten von drei dieser Formen sei von 0 verschieden, und ihr absoluter Betrag werde mit \(4D\) bezeichnet. Dann gibt es ein System von drei ganzen Zahlen \(x,y,z\) die nicht alle verschwinden, und für welche alle vier Formen \(\varphi, \chi, \psi, \omega\) dem absoluten Betrage nach \(\leqq \root 3\of{\frac{108}{19}\, D}\) sind. Diese Schranke ist ``genau'', d. h. sie kann durch keine kleinere ersetzt werden; es gibt also Formenquadrupel \(\varphi, \chi, \psi, \omega\), so daß\ bei keiner Wahl von \(x,y,z\) (außer 0,0,0) \(| \varphi |\), \(| \chi |\), \(| \psi |\), \(| \omega |\) sämtlich \(< \root 3\of{\frac{108}{19}\,D}\) sind. 2. Es seien \(\xi = \alpha x+ \beta y\), \(\eta = \gamma x + \delta y\) zwei lineare Formen mit komplexen Koeffizienten, und es sei \(D= | \alpha \delta - \beta \gamma | >0\). Dann kann man im \textit{Gauß}schen Körper \(P(i)\) ein Paar ganzer Zahlen \(x,y\) finden (wo nicht zugleich \(x=0\), \(y=0\)), so daß \[ | \xi | \leqq \sqrt{ \frac{\sqrt 3 +1}{\sqrt 6}\, D}, \quad | \eta | \leqq \sqrt{ \frac{\sqrt 3 +1}{\sqrt 6}\, D} \] ist. Auch diese Schranke ist ``genau''. 3. Analog gibt es im Körper der dritten Einheitswurzeln ein Paar ganzer Zahlen \(x,y (\neq 0,0)\), so daß\ \[ | \xi | \leqq \sqrt D, \quad | \eta | \leqq \sqrt D \] ist. Auch diese Schranke ist ``genau'' und merkwürdigerweise viel einfacher als im vorigen Fall des Körpers der vierten Einheitswurzeln.