On the convergence of continued fractions with complex elements. (Q1509405)

Die im letzten Jahrzehnt Fortschritte in der Theorie der Kettenbrüche mit komplexen Elementen, welche sich an die Namen \textit{Stieltjes} (F. d. M. 25, 326, 1893/94, JFM 25.0326.03) und \textit{Pringsheim} (F. d. M. 29, 178, 1898, JFM 29.0178.02) knüpfen, führt der Verf. in bemerkenswerter Weise weiter. Er betritt aber von vornherein ganz neue Bahnen, indem er die Teilnenner und -Zähler formal als \(\alpha_n + \beta_n i\), bezw. \(\gamma_n + \delta_n i\) ansetzt und an die Stelle der allbekannten Rekursionsformeln für die Näherungsbrüche neue Formeln setzt, welche die reellen und die imaginären Bestandteile derselben gesondert verknüpfen. Das Hauptinteresse erweckt natürlich der Fall, wo alle \(\delta =0\) und alle \(\gamma =1\) sind, also der Kettenbruch: \[ \frac{1}{\alpha_1 + \beta_1 i} \dotplus \frac{1}{\alpha_2 + \beta_2 i} \dotplus \cdots \] Hier ergeben sich die beiden Hauptsätze: 1. Wenn \(\varSigma | \alpha_n + \beta_n i |\) konvergent ist, und entweder alle \(\alpha\) gleiches Vorzeichen oder die \(\beta\) alternierende Vorzeichen haben, konvergieren die geraden, bezw. ungeraden Näherungswerte für sich, aber nach verschiedenen Grenzen. 2. Wenn \(\varSigma | \alpha_n + \beta_n i|\) divergent ist und sowohl alle \(\alpha\) gleiches Zeichen, als auch die \(\beta\) alternierende Zeichen haben, konvergiert der Kettenbruch unbedingt. Hieran knüpfen sich weitere Theoreme, welche solche Fälle umfassen, in denen die genannten Vorzeichenbedingungen nur teilweise erfüllt sind. Ferner vollzieht sich leicht der Übergang zu algebraischen Kettenbrüchen mit den Teilzählern 1 und mit Teilnennern, welche die komplexe Variable \(z\) linear enthalten; Verf. erhält sonach Sätze, die denen von \textit{Stieltjes} analog sind, sich aber auf die allgemeinere Form \[ \frac{1}{b_1 z +c_1} \overset {.} - \frac{1}{b_2 z +c_2} \overset {.} - \dots \] beziehen.