Mathematical contributions to the theory of evolution. VII. On the correlation of characters not quantitatively measurable. (Q1509454)

Variieren zwei Größen in einer vermuteten Abhängigkeit von einander, so ergibt sich die Wahrscheinlichkeit für das gleichzeitige Auftreten eines bestimmten Wertes jeder Größe in Form eines Doppelintegrales nach zwei Variabeln, dessen Integrand gleich \(e^{-\varphi (x,y)}\) ist, wo \(\varphi (x,y)\) eine homogene Funktion zweiten Grades der Form \(\frac{1}{2(1-r^2)} (x^2 + y^2 - 2rxy)\) ist. Der Faktor \(\sqrt{1 -r^2}\) tritt außerdem im Nenner vor dem Integralzeichen auf. Der Verf. hat bereits früher bewiesen, daß\ die Größe \(r\) ein numerisches Maß\ für die Abhängigkeit der Variationen beider Größen bildet, und hat sie als Korrelationskoeffizient bezeichnet. Die vorliegende Arbeit entwickelt mehrere Methoden, die diesen Koeffizienten in einem gegebenen Fall, in dem nämlich für jede Variable nur 2 einander ausschließende Wirklichkeitsfälle unterschieden werden, durch Näherungsintegrationen aus den Beobachtungswerten zu ermitteln gestatten, sowie Methoden, die parallel mit dem Koeffizienten variierende, einfacher zu berechnende Ersatzgrößen kennen lehren. Die wahrscheinlichen Fehler der berechneten Werte werden ebenfalls ermittelt. Auch eine Verallgemeinerung auf mehr als zwei Variabeln ist angegeben. Bei \(n\) Variabeln treten dann \(n(n-1)/2\) Korrelationskoeffizienten auf. Der Faktor \(1-r^2\) wird durch eine symmetrische Determinante dieser Werte mit der Diagonalreihe 1 ersetzt, und die Koeffizienten der Glieder der homogenen Funktion zweiten Grades der \(n\) Variabeln, in die \(\varphi(x, y)\) übergeht, werden Unterdeterminanten. Die Entwicklung wird für 4 Variabeln bis zu Gliedern vierter, für drei Variabeln bis zu Gliedern fünfter Ordnung durchgeführt. Den Schluß\ bilden praktische Anwendungen auf die Erblichkeit anatomischer Merkmale und die Wirksamkeit von Immunisierungsmitteln.