Über \textit{Borels} Verallgemeinerung des Grenzbegriffes. (Q1509484)

Die Verwandlung einer Potenzreihe in eine unendliche Doppelreihe ist sehr geeignet, um jene in einen analytischen Ausdruck mit weiterem Geltungsbereiche zu transformieren. Dazu dient das von \textit{E. Lindelöf} (Acta soc. scient. Fennicae 24, 1899) benutzte Verfahren der konformen Abbildung oder auch die \textit{Euler}sche Transformation. Bei dieser setzt man \(x= t: (1+t)\), also \(t= x: (1-x)\); dadurch geht \[ f(x) = \sum_0^{\infty} {_\nu} a_{\nu} x^{\nu} \] über in \[ (1) \qquad f(x) = a_0 + a_1\;\frac{x}{1-x} + \varDelta a_1 \left( \frac{x}{1-x}\right)^2 + \cdots + \varDelta^{n-1} a_1 \left(\frac{x}{1-x} \right)^n + \dots, \] wo \[ \varDelta^r a_1 = a_{r+1} - \binom{r}{1} a_r + \binom{r}{2} a_{r-1} + \dots + (-1)^r a_1 \] ist. Dies kann auch durch die \textit{Markoff}sche Formel der partiellen Summation erreicht werden: \[ (2) \qquad \sum_\alpha^{\alpha+ n\delta} \varphi (\nu) \varDelta \psi (\nu) = \varphi (\alpha + n\delta) \psi (\alpha + n\delta) - \varphi (\alpha) \psi (\alpha) - \sum_\alpha^{\alpha+ n\delta} \psi (\nu + \delta) \varDelta \varphi (\nu), \] wo \(\varphi\) und \(\psi\) Funktionen von \(\nu\) sind und \(\varDelta \varphi (\nu) = \varphi (\nu + \delta) - \varphi (\nu)\) ist. Setzt man jetzt \(\delta =1\) und \(\psi (\nu) = x^{\nu} : (x-1)\), so ist \(\varDelta \psi (\nu) = x^{\nu}\); dadurch geht die letzte Gleichung über in \[ \sum_\alpha^{\alpha+ n}{_\nu} x^{\nu} \varphi (\nu) = \frac{x^{a+n} \varphi (\alpha +n) - x^a \varphi (\alpha)}{x-1} - \frac{x}{x-1} \sum_\alpha^{\alpha+n}{_n} x^{\nu} \varDelta \varphi (\nu). \] Setzt man ferner \(\alpha =1\), \(\varphi(\nu) = a_{\nu}\) und wendet diese Formel der Reihe nach auf \(\sum_1^n{_\nu} a_{\nu} x^{\nu}\), \(\sum_1^n{_\nu} \varDelta a_{\nu},\dots, \sum_1^n{_\nu} x^{\nu} \varDelta^{m-1} a_{\nu}\) an, so erhält man: \[ \begin{multlined} (3) \qquad \sum_1^n{_\nu} a_{\nu} x^{\nu} = \sum_1^m{_\nu} \left( \frac{1}{1-x} \right)^{\nu} \varDelta^{\nu -1} a_1 \\ + \left( \frac{x}{1-x} \right)^m \sum_1^n{_\nu} x^{\nu} \varDelta^m a_{\nu} - \frac{x^n}{1-x} \sum_0^{m-1}{_\nu} \left( \frac{x}{1-x} \right) \varDelta^{\nu} a_n \end{multlined} \] \[ =A+B+C; \] die rechte Seite kann man als endliche Doppelreihe darstellen: \[ (4)\quad \begin{cases} a_1 \left[ \frac{x}{1-x} - \left( \frac{x}{1-x} \right)^2 + \left( \frac{x}{1-x} \right)^3 + \cdots + (-1)^{m-1} \left( \frac{x}{1-x} \right)^m \right] \\ +(-1)^{m-1} \left( \frac{x}{1-x} \right)^m [x\varDelta a_1 + x^2 \varDelta a_2 + \cdots +x^n \varDelta a_n] - \frac{x^n a_n}{1-x} \\ a_2 \left[ \left( \frac{x}{1-x} \right)^2 + \binom{-2}{1} \left( \frac{x}{1-x} \right)^3 + \cdots + \binom{-2}{m-2} \left( \frac{x}{1-x} \right)^m \right] \\ + \binom{-2}{m-2} \left( \frac{x}{x-1} \right)^m [x \varDelta a_2 + x^2 \varDelta a_3 + \cdots + x^n \varDelta a_{n+1}] - \frac{x^{n+1} \varDelta a_n}{(1-x)^2} \\ a_3 \left[ \left( \frac{x}{1-x} \right)^3 + \cdots + \binom{-3}{m-3} \left( \frac{x}{1-x} \right)^m \right] \\ + \binom{-3}{m-3} \left(\frac{x}{1-x} \right)^m [x \varDelta a_3 + x^2 \varDelta a_4 + \cdots + x^n \varDelta a_{n+2}] - \frac{x^{n+2} \varDelta^2 a_n}{(1-x)^3} \\ \hdotsfor1\\ \hdotsfor1\\ a_m \left( \frac{x}{1-x} \right)^m + \left(\frac{x}{1-x} \right)^m [x \varDelta a_m + x^2 \varDelta a_{m+1} + \cdots + x^m \varDelta a_{n+m}] - \frac{x^{n+m-1} \varDelta^{m-1} a_n}{(1-x)^n} \cdot \end{cases} \] Läßt man \(m\) und \(n\) gleichzeitig sich der Grenze \(+\infty\) nähern, so geht die endliche Doppelreihe (4) in eine unendliche über. (\(A\) geht in die rechte Seite von (1), \(B\) und \(C\) in die bei der \textit{Euler}schenTransformation auftretenden Restglieder über, die für alle Werte von \(x\), für welche die Gleichung (1) besteht, gegen Null konvergieren.) Die notwendige und hinreichende Bedingung der Konvergenz besteht darin, daß\ der absolute Betrag von \[ \begin{multlined} \sum_m^{m+r}{_\nu} \left(\frac{x}{1-x}\right)^{\nu} \varDelta^{\nu -1} a_1 + \left(\frac{x}{1-x} \right)^{m+r} \sum_1^{n+s}{_\nu} x^{\nu} \varDelta^{m+r} a_{\nu} \\ - \left(\frac{x}{1-x} \right)^m \sum_1^n{_\nu} x^{\nu} \varDelta^m a_n - \frac{x^{n+s}}{1-x} \sum_0^{m+r-1}{_\nu} \left( \frac{x}{1-x} \right)^{\nu} \varDelta^{\nu} a_{n+s} \\ +\frac{x^n}{1-x} \sum_0^{m-1}{_\nu} \left(\frac{x}{1-x} \right)^{\nu} \varDelta^{\nu} a_n \end{multlined} \] kleiner sein muß\ als eine beliebige positive Zahl \(\varepsilon\), wenn \[ m>g, \quad n> g, \quad r,s=0,1,2, \dots \] Es egibt sich, daß\ für alle Werte von \(x\), für welche (1) gilt, die unendliche Doppelreihe (4) für \(\lim m= \infty\), \(\lim n= \infty\) zum Grenzwert \(\sum_1^{\infty}{_\nu} \left(\frac{1}{1-x}\right)^{\nu} \varDelta^{\nu -1} a_1\) konvergiert und der Doppelreihe \[ a_1 \left[\frac{x}{x-1} - \left( \frac{x}{1-x} \right)^2 + \left( \frac{x}{1-x} \right)^3 + \dots + (-1)^{n-1} \left( \frac{x}{1-x} \right)^n \cdots \right] \] \[ a_2 \left[ \left( \frac{x}{1-x} \right)^2 + \binom{-2}{1} \left( \frac{x}{1-x} \right)^3 + \cdots + \binom{-2}{n-2} \left( \frac{x}{1-x} \right)^n \cdots \right] \] \[ a_3 \left[ \left( \frac{x}{1-x} \right)^3 + \cdots + \binom{-3}{n-3} \left( \frac{x}{1-x} \right)^n \cdots \right] \] \[ \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \] \[ \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \] \[ a_m \left[ \left( \frac{x}{1-x} \right)^m \cdots + \binom{-m}{n-m} \left( \frac{x}{1-x} \right)^n \cdots \right] \] \[ \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \] \[ \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \] äquivalent ist. Die Reihe \(\sum_0^{\infty}{_\nu} \left( \frac{a}{a+1} \right)^{\nu} a_{\nu} x^{\nu}\) konvergiert für \(a= +\infty\) gleichmäßig gegen \(\sum_0^{\infty}{_\nu} a_{\nu} x^{\nu}\); \(\lim_{a= \infty} \frac{a}{a+r} = \lim_{a= \infty} \frac{a}{a+1} =1\), falls \(\lim \frac ra =0\) für \(r= \infty\), \(a= \infty\). Dann erhält man die Formel: \[ (5)\quad\begin{cases} \lim_{a= \infty} \sum_1^n{_\nu} \left( \frac{a}{a+1} \right)^{\nu} a_{\nu} x^{\nu} = \lim_{a= \infty} \sum_1^m{_\nu} \frac{a^{\nu}}{\nu !} \varDelta^{\nu -1} (a_1 x) + \\ \lim_{a= \infty} \frac{a^m}{m!} \sum_1^n{_\nu} \left( \frac{a}{a+m} \right)^{\nu} \varDelta^m (a_{\varepsilon} x^{\nu}) - \lim_{a= \infty} \sum_1^m{_\nu} \frac{a^r}{\nu !} \varDelta^{\nu -1} (a_n x^n). \end{cases} \] Läßt man jetzt \(m\) und \(n\) gleichzeitig zum Grenzwert \(+\infty\) übergehen unter der Voraussetzung, daß\ \(\lim_{a= \infty} \frac{a}{a+r} =1\) \((r=1,2, \dots)\) ist, so treten statt der endlichen Reihen unendliche auf, und es ist notwendig, daß\ diese Reihen konvergieren; das ist der Fall für alle Werte von \(x\), welche dem Konvergenzkreis von \(f(x) = \varSigma a_{\nu} x^{\nu}\) angehören. Der Radius desselben sei 1. Bezeichnet man die Partialsummen der Potenzreihe \[ \varSigma a_{\nu} x^{\nu} \text{ durch } s_0, s_1, s_2, \dots, s_n, \dots, \] so ist \[ a_1 x= \varDelta s_0, \dots, \varDelta^{\nu -1} (a_1 x)= \varDelta^{\nu} s_0, \dots; \] die Gleichung (5) geht in \[ \sum_0^n{_\nu} a_{\nu} x^{\nu} = \lim_{a= \infty} \left[ \sum_0^m \frac{a^{\nu}}{\nu !} \varDelta^{\nu} s_0 + \frac{a^m}{m!} \sum_1^n{_\nu} \left( \frac{a}{a+m} \right)^{\nu} \varDelta^{m+1} s_{\nu -1} - \sum_1^m{_\nu} \frac{a^{\nu}}{\nu!} \varDelta^{\nu} s_{n-1} \right] \] über. Der rechten Seite dieser Gleichung kann man die Form geben: \[ (6)\qquad \begin{cases} s_0 \left[ 1- a+ \frac{a^2}{2!}- \cdots +(-1)^m \frac{a^m}{m!} \right] \\ +(-1)^m \frac{a^m}{m!} \left[ \left( \frac{a}{a+m} \right) \varDelta s_0 + \left( \frac{a}{a+m} \right)^n \varDelta s_{n-1} \right] - a \varDelta s_{n-1} \\ as_1 \left[ 1-a + \cdots +(-1)^{m-1} \frac{a^{m-1}}{(m-1)!} \right] \\ + \binom{-2}{m-1} \frac{a^m}{m!} \left[ \left( \frac{a}{a+m} \right) \varDelta s_1 + \left( \frac{a}{a+m} \right)^n \varDelta s_n \right] - \frac{a^2}{2!} \varDelta^2 s_{n-1} \\ \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \\ \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \\ \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad -\frac{a^m}{m!} \varDelta^m s_n \\ -\frac{a^m}{m!} s_m + \frac{a^m}{m!} \left[\left( \frac{a}{a+m} \right) \varDelta s_m + \cdots + \left( \frac{a}{a+m} \right)^n \varDelta s_{n+m} \right] \cdot \end{cases} \] Für \(m= \infty\), \(n= \infty\) erhält man wieder eine Doppelreihe, welche zum Grenzwert \(\lim_{a= \infty} \sum_1^{\infty} \frac{a^{\nu}}{\nu !} \varDelta^{\nu} s_0\) konvergiert, wenn diese Reihe selbst konvergiert und die Restglieder \[ \lim_{a= \infty}\;\frac{a^m}{m!}\;\sum_1^{\infty}{_\nu} \left(\frac{a}{a+m} \right)^{\nu} \varDelta^{m+1} s_{\nu} \qquad (\lim m=+ \infty) \] und \[ \lim_{a= \infty} \sum_1^{\infty} \frac{a^{\nu}}{\nu!}\;\varDelta^{\nu} s_{n-1} \qquad (\lim n=+\infty) \] den Grenzwert Null haben. Unter diesen Bedingungen konvergiert auch die unendliche Doppelreihe \[ \begin{aligned} & s_0 \left[ 1-a + \frac{a^2}{2!} - \cdots +(-1)^n \frac{a^n}{n!} \right]\\ & as_1 \left[ 1- a+ \cdots + (-1)^{n-1} \frac{a^{n-1}}{(n-1)!} \right]\\ & \hdotsfor1\\ & \hdotsfor1\\ & \frac{a^m}{m!} s_m \left[ 1- \cdots + (-1)^{n-m} \frac{a^{n-m}}{(n-m)!} \right]\\ & \hdotsfor1\\ & \hdotsfor1\end{aligned} \] zum Grenzwert \(\lim_{a= \infty} \sum_0^{\infty} \frac{a^{\nu}}{\nu !} \varDelta^{\nu} s_0\); dann folgt auch, daß\ für \(| x | <1\) \[ \sum_0^{\infty}{_\nu} a_{\nu} x^{\nu} = \lim_{a= \infty} \frac{a^{\nu}}{\nu!} \sum_0^{\infty} \varDelta^{\nu} s_0 \] ist; ferner, wenn \(G\) eine beliebig gegebene positive Größe ist, daß\ für \(| x | <1\) \(\sum_0^{\infty}{_\nu} a_{\nu} x^{\nu} = \lim_{a= \infty} e^a \sum_0^{\infty}{_\nu} \frac{a^{\nu}}{\nu!} s_{\nu} (x)\) ist, wo die Reihe auf der rechten Seite gleichmäßig konvergiert für \(| x | <1\) und \(a>G\). Die Potenzreihe \(\varSigma a_{\nu} x^{\nu}\) ist mit Hülfe der Formel der partiellen Summation in eine unendliche Doppelreihe verwandelt, die auch dann, wenn die einzelnen Kolonnen und die ursprüngliche Reihe divergieren, konvergieren kann, und zwar zu demselben Grenzwerte wie die Reihe der Zeilensummen. Die notwendige und hinreichende Bedingung, daß\ der Grenzwert der Reihe \(\lim_{a= \infty} e^{-a} \sum_0^{\infty} \frac{a^{\nu}}{\nu !}\;s_{\nu} (x)\) eine analytische Funktion von \(x\) darstellt, ist, daß\ der absolute Betrag von \(\lim_{a= \infty} e^{-a} u_1 (a,x)\) zur Null konvergiert; dabei ist \[ u_1 (a,x) = a_1 x+ aa_2 x^2 + \frac{a^2}{2!} a_3 x^3 + \dots. \] Die Reihe \(\lim_{a= \infty} e^{-a} \sum_0^{\infty}{_\nu} \frac{a^{\nu}}{\nu !} s_{\nu} (x)\) ist, wie sich auf Grund \textit{Borel}scher Sätze ergibt, eine analytische Funktion von \(x\) innerhalb eines konvexen Polygons, das in folgender Weise bestimmt ist. Man zieht von Mittelpunkt \(O\) des Konvergenzkreises von \(\sum_0^{\infty}{_\nu} a_{\nu} x^{\nu}\) Radienvektoren nach den einzelnen singulären Punkten der durch diese Reihe definierten analytischen Funktion \(f(x)\), errichtet in jedem derselben eine Senkrechte auf dem Radius und läßt denjenigen Teil der Ebene fort, der vom Punkte \(O\) außerhalb dieser Senkrechten liegt.