Über den \textit{Cauchy-Hadamard}schen Satz von Konvergenzradius, nebst einer Darstellung der \textit{Dedekind}schen Irrationalzahlentheorie. (Q1509490)

Es ist auf unendlich viele Arten möglich, die Gesamtmenge aller rationalen Zahlen derart in zwei Teilmengen zu trennen, daß\ jede Zahl der einen Teilmenge kleiner ist als jede Zahl der anderen. Eine solche diese Einteilung heißt ein Dedekindscher Schnitt, jene eine untere, eine obere \textit{Dedekind}sche Menge. Die Gesamtheit aller reellen oder komplexen Zahlenmengen kann man folgender Weise einteilen: Erste Stufe: Die endlichen Mengen. Zweite Stufe: Die nicht-endlichen abzählbaren Mengen. Dritte Stufe: Die nicht-endlichen nicht abzählbaren Mengen. (Eine nicht vorhandene Menge wird auch als eine Menge nullter Stufe bezeichnet.) Die Gesamtheit derjenigen reellen Zahlen aus einer vorgelegten Menge, welche kleiner als irgend eine bestimmte Zahl sind, heißt die zu dieser Zahl gehörige untere Teilmenge der vorgelegten Menge. Eröffnet man rücksichtlich einer vorgelegten Menge für alle rationalen Zahlen zwei Klassen derart, daß\ man in die eine alle diejenigen rationalen Zahlen setzt, deren zugehörige untere Teilmenge eine gewisse Stufe (1te, 2te, 3te) nicht erreicht, und in die andere alle übrigen rationalen Zahlen, so gehören entweder die rationalen Zahlen sämtlich nur einer der beiden Klassen an, oder sie gehören zum Teil der einen, zum Teil der andern Klasse an. Dann ist jede Zahl der einen Klasse kleiner als jede Zahl der andern. Der so entstandene \textit{Dedekind}sche Schnitt, als Zahl betrachtet, heißt eine Grenze, und zwar infolge seiner Herleitung vermittelst der unteren Teilmenge eine \textit{untere} Grenze der gegebenen Menge, und insbesondere entsprechend der Stufe, welche die zu den rationalen Zahlen der erstgenannten Klasse gehörigen Teilmengen nicht erreichen, eine erste, zweite oder dritte untere Grenze der gegebenen Menge. Dagegen wird gesagt, daß\ im zuerst angeführten Falle eine solche Grenze nicht vorhanden sei. Wählt man für \(z\) irgend einen beliebigen von Null verschiedenen Wert aus, für welchen \(| \root n\of{w / a_n} | < | z|\) ist, so wird von unendlich vielen oder nicht unendlich vielen Gliedern der Potenzreihe \(a_0 + a_{n_1} z^{n_1} + a_{n_2} z_{n_2} + \dots\) der absolute Betrag größer als \(w\) sein (\(w\) ist eine willkürlich ausgewählte positive Zahl), je nachdem aus der Menge \(| \root n\of{w / a_n} | (n= n_1, n_2, n_3, \dots)\), wo \((n_1, n_2, n_3, \dots\) die Stellenzeiger der nicht konstanten Glieder der Reihe \[ a_0 + a_{n_1} z^{n_1} + a_{n_2} z^{n_2} + \dots \] sind, unendlich viele kleiner sind als der absolute Betrag des eben gewählten Wertes von \(z\) oder nicht. Falls nun die Potenzreihe nicht eine ganze rationale Funktion vorstellt, so ist die aus ihren Koeffizienten auf die obige Weise gebildete Zahlenmenge von der zweiten Stufe. Ist eine unendliche Reihe vorgelegt, welche nach positiven ganzen Potenzen einer Veränderlichen fortschreitet, und ist die zum absoluten Betrage irgend eines von Null verschiedenen Wertes dieser Veränderlichen gehörige untere Teilmenge der aus den Koeffizienten der Reihe auf die obige Weise gebildeten Zahlenmenge selbst von der zweiten Stufe, so divergiert die Reihe für diesen sowie auch für jeden einen gleichen oder größeren absoluten Betrag besitzenden Wert; ist dagegen die genannte untere Teilmenge von niedrigerer als der zweiten Stufe, so konvergiert die Reihe zum mindesten für jeden Wert von kleinerem absoluten Betrage. Wird \(w =1\) und statt der Menge \(1: | \root n \of a_n |\) die Menge der reziproken Werte \(| \root n\of a_n |\) (sie heißt die konvergenzentscheidende Menge der Potenzreihe) genommen, so ergibt sich hieraus der \textit{Cauchy-Hadamard}sche Satz.