Zur Theorie der Potenzreihen. (Q1509493)

Es sei \(f(x)\) eine analytische Funktion mit dem Konvergenzbereiche \((r)\) und den Singulärstellen \(a_s (s=1,2, \dots, \infty)\), wo \(| a_s | = r\), \(a_s = re^{\varphi_{s^i}}\) (\(\varphi_s\) ganz beliebig.) Dann existiert für die Umgebung jeder Stelle \(a_s\) die Entwickelung \(f(x) = G_s (1/x -a_s) + {\mathfrak P}_s (x- a_s)\), wo \(G_s\) eine ganze rationale oder transzendente Funktion ist und in die Reihe \[ \sum_{\mu =0}^{\infty} A_{s\mu} \left(\frac{x}{a_s} \right)^{\mu} \] entwickelt werden kann, worin \(A_{s\mu}\) endlich ist. Setzt man weiter \[ G_s(1/x - a_s) = \sum_0^{m_s} A_{s\mu} (x/a_s)^{\mu} + F_s(x), \quad F_0(x) = \sum_{m_s +1}^{\infty} A_{s\mu} (x/ a_s)^{\mu}, \] so kann \(m_s\) und die Umgebung der Stelle \(a_s\) so gewählt werden, daß\ \(\sum_{s=1}^{\infty} | F_s (x) |\) gleichmäßig konvergiert und in eine Potenzreihe entwickelt werden kann. Die analytische Funktion \[ f(x) = G(x) + \varSigma F_s (x) \qquad (s= 1,2, \dots, \infty) \] besitzt am Umfange des Konvergenzbereiches lauter Singularitäten. Innerhalb dieses Umfanges gibt es Stellen (isolierte oder nicht), wo \(f(x)\) die Endlichkeit und Einwertigkeit verliert, außerhalb des Konvergenzbereiches ist \(f(x)\) im allgemeinen unendlich. Scheidet man aus \(f(x)\) eine Reihe mod.\,\(m\) aus, so hat die ausgeschiedene Reihe dieselben Eigenschaften wie die Funktion \(f(x)\).