Über empirische Funktionen und die Interpolation zwischen äquidistanten Ordinaten. (Q1509510)

Man kann durch eine Tabelle eine Funktion wohl definieren, wenn man zugleich ein Interpolationsverfahren vorschreibt. Erstes Verfahren. Es seien die Werte der Funktion von \(x\) für die Werte \(x= 0, h, 2h, \dots\) gegeben. Man bilde dann eine ganze Funktion ersten Grades \(g_1(x)\), die für \(x=0\) und \(x=h\) die gegebenen Werte annimmt, eine ganze Funktion zweiten Grades \(g_2(x)\), die für \(x= 0,h, 2h, \dots,\) eine ganze Funktion \(n\)-ten Grades \(g_n(x)\), die für \(x= 0,h,2h, \dots, nh\) die gegebenen Werte annitmmt. Soweit die Konvergenz von \(\lim g_n(x)\) reicht, läßt sich die Funktion durch \(g_n(x)\) definieren. Zweites Verfahren. Die Werte der Funktion seien für \[ x=0, \pm h, \pm 2h, \dots \] gegeben. Man bilde eine ganze Funktion ersten Grades \(G_1(x)\), welche für \(x=0,\; h\) die vorgeschriebenen Werte annimmt, eine ganze Funktion zweiten Grades \(G_2(x)\), die für \(x=-h, 0, +h, \dots\), eine ganze Funktion \((2n-1)\)-ten Grades, die für \[ x=- (n-1)h, \; -(n-2)h, \; \dots, \; 0, \; h, \dots, nh, \] eine ganze Funktion \((2n)\)-ten Grades \(G_{2n} (x)\), die für \[ x=- nh, \; \dots,\; 0, \dots,\; nh \] die vorgeschriebenen Werte annimmt. So weit die Konvergenz von \(G_{\lambda}(x)\) reicht, ist die Funktion durch \(G_{\lambda}(x)\) zu definieren. 1. Die für \(x=0,h,2h, \dots\) vorgeschriebenen Werte seien \(1, e^h, e^{2h}, \dots;\) dann ist, wenn \(e^h -1 =u,\; x/h=v\) gesetzt wird, \[ g_n(x) = 1+ uv + u^2v (v-1)/2! + \cdots + u^n v(v-1) \cdots (v-n+1)/n!, \] oder \(g_n(x)\) ist gleich der Summe der \((n+1)\) ersten Glieder der binomischen Reihe für \((1+u)^v\). Für Werte von \(x\), die nicht in der Tabelle vorkommen, ist \(v\) nicht gleich einer ganzen positiven Zahl, damit die sich dann für \((1+u)^v\) ergebende unendliche Reihe konvergiert, muß\ \(h\) entweder negativ oder nicht größer als \(l2\) sein. 2. Die für \(x=0,\; \pm h,\; \pm 2h,\; \dots\) vorgeschriebenen Werte seien \(1,e^{\pm h}, e^{\pm 2h}, \dots\); wird \(\frac xh =v\) gesetzt, so ist \(G_{\lambda}(x)\) gleich der Reiche \[ \begin{aligned} 1+ e^{-h} u^2 v(v-1)/2! & + e^{-2h} u^4 (v+1) v(v-1) (v-2)/4! + \cdots\\ & +uv + e^{-h} u^3 (v+1) v(v-1) /3!\\ & +e^{-2h} u^5 (v+2) (v+1) v(v-1) (v-2)/5! + \cdots;\end{aligned} \] sie konvergiert für \(e^{-h} u^2 <4\), d. h., wenn \(h\) nicht außerhalb der beiden Werte liegt, für die \({\mathfrak Sin} h/2 = \pm 1\), d. h. \(h= \pm \text{1,76275} \dots\) Ergebnis: Aus der Tabelle, in der wir uns die Werte \(e^0, e^{\pm h}, e^{\pm 2h}, \dots\) ausgerechnet denken, wird die Funktion \(e^x\) durch Interpolation gefunden, wenn \(h\leqq 2{\mathfrak ArSin} \; 1\). Wenn aber \(h>2\; {\mathfrak ArSin} \; 1\) ist, so kann man die Interpolation auf die Tabelle nicht anwenden. 3. Es soll eine Funktion gesucht werden, welche für äquidistante Werte der Veränderlichen die Werte \(\dots 0, -1, 0, +1, 0, -1, 0, \dots\) annimmt. Es ergibt sich die für alle Werte von \(x\) und \(h\) konvergente Reihe \[ \frac xh - 2 \frac{(x+h) x(x-h)}{h \cdot 2h \cdot 3h} +4 \frac{(x+2h) (x+h) x(x-h) (x-2h)}{h \cdot 2h \cdot 3h \cdot 4h \cdot 5h} - \cdots, \] welche \(\sin (x\pi/h2)\) darstellt. -- Aufgabe: Es seien die Werte einer Funktion von \(x\) für eine endliche Anzahl äquidistanter Werte von \(x\) gegeben. Unter welchen Umständen kann man erwarten, daß\ die ganze rationale Funktion niedrigsten Grades, die für dieselben Werte von \(x\) die gegebenen Werte annimmt, auch eine gewisse Annäherung an die Funktion für die Zwischenwerte von \(x\) darstellt? Unter welchen Umständen wird die Annäherung, wenn man mehr und mehr äquidistante Werte von \(x\) zwischen gegeben Grenzen einschaltet, eine beliebige Genauigkeit erreichen? Es sei \(f(x)\) eine Funktion eines komplexen Argumentes, die sich in irgend einem zusammenhängenden Gebiete regulär verhält, so daß\ \[ f(x) = \frac{1}{2\pi i} \int \frac{f(z) dz}{z-x}, \] wenn das Integral um den Rand des Gebietes erstreckt wird. Es seien \(x_1, x_2, \dots, x_n\) \(n\) von einander verschiedene Werte, die im Innern des Gebietes liegen. Setzt man \(g_{\nu} (x) = (x-x_1) (x-x_2) \dots (x-x_{\nu}),\) so ist \[ \frac{1}{z-x} = \frac{1}{g_1(z)} + \frac{g_1(x)}{g_2(z)} + \frac{g_2(x)}{g_3(z)} + \cdots + \frac{g_{n-1}(x)}{g_n(z)} + \frac{g_n(x)}{g_n(z)} \cdot \frac{1}{z-x}\,; \] dadurch nimmt \(f(x)\) die Form an: \[ f(x) = G_n(x) + \frac{1}{2\pi i} \int\frac{g_n(x)}{g_n(z)}\;\frac{f(z)}{z-x}\;dz, \] wo \(G_n(x)\) eine ganze rationale Funktion \((n-1)\)-ten Grades bedeutet. Da \(g_n(x)\) für \(x_1,x_2,\dots, x_n\) verschwindet, so stimmt an diesen Stellen \(G_n(x)\) mit \(f(x)\) überein. Da eine ganze Funktion von nicht höheren als dem \((n-1)\)-ten Grade durch \(n\) ihrer Werte eindeutig bestimmt ist, so stellt \(G_n(x)\) die Funktion niedrigsten Grades dar, die für \(x_1, x_2, \dots, x_n\) mit \(f(x)\) übereinstimmt. Es seien zwei reelle Werte \(a\) und \(b(b>a)\) gegeben, wir denken uns das Intervall von \(a\) bis \(b\) in \((n-1)\) gleiche Teile geteilt und setzen \(x_1 =a\), \(x_n =b\), während \(x_2, x_3, \dots, x_{n-1}\) die Teilpunkte in der Reihenfolge von \(a\) bis \(b\) bezeichnen. \(f(x)\) sei eine analytische Funktion, die sich im Intervall von \(a\) bis \(b\) regulär verhält. Dann wird gezeigt, daß\ der zweite Summand von \(f(x)\) für jeden Wert von \(x\) im Innern einer gewissen \(U\)-Kurve beliebig klein wird. Daher \(f(x) = \lim G_n(x)\). Der Konvergrenzbereich erfüllt daher das ganze Innere derjenigen \(U\)-Kurve, welche durch wenigstens eine singuläre Stelle hindurchgeht, ohne singuläre Stellen zu umschlingen. Je nach der Lage der singulären Stellen wird der Konvergenzbereich des Ausdruckes \(f(x) = \lim G_n(x)\) nur einen Teil der Strecke \(ab\) oder die ganze Strecke \(ab\) enthalten.