On series for \(n\pi/\sqrt{P}\). (Q1509534)

Der Verf. weist darauf hin, daß\ die in den beiden vorangehenden Referaten (siehe JFM 32.0284.01 und JFM 32.0284.02) angegebenen Formeln besondere Fälle eines in Dirichlets Zahlentheorie (3. Aufl. \S\ 103, S. 262) mitgeteilten Satzes sind: \[ (1)\qquad \sum\left(\frac{n}{P}\right)\frac{1}{n}=-\frac{\pi}{P\sqrt{P}}\;\sum\left(\frac\alpha P\right)\alpha, \] wo \(P\) eine beliebige Zahl von der Form \(4k+3\) ist, die nicht einen quadratischen Faktor enthält, \(n\) relativ prim zu \(P\), \(\alpha\) eine beliebige unter \(P\) liegende und zu \(P\) relativ prime Zahl. Durch Bearbeitung der Fälle von \(P=3\) bis \(P=31\) zeigt sich, daß\ für \(P=15,23,31\) das Resultat nicht direkt \(\pi/\sqrt{P}\) ist, sondern ein Vielfaches dieses Wertes. Die genauere Untersuchung ergibt den Wert \(h\pi/\varepsilon \sqrt{P}\), wo \(\varepsilon=1\) für \(P=8k+7\), \(\varepsilon=3\) für \(P=8k+3\). Nach einer durchgeführten Rechnung für alle Zahlen \(P<100\) finden sich die Werte \(P = 7, 11, 19, 43, 67\), ferner für \(P> 100\) noch 163, bei denen die Reihe (1) den Wert \(\pi/\sqrt P\) besitzt; \(2\pi/\sqrt P\) folgt für \(P=15, 35, 51, 91\); \(3\pi/\sqrt P\) für \(P=23, 31, 59, 83\), u. s. w. Weitere Betrachtungen beziehen sich auf Reihen der betrachteten Art, welche nur ungerade Zahlen in den Nennern enthalten. Endlich werden ähnliche Überlegungen für die drei anderen Formeln angestellt, die bei \textit{Dirichlet} mit der Formel (1) zusammen ein Formelsystem bilden.