Über die Begriffe Länge, Oberfläche und Volumen. (Q1509563)

Von der Bemerkung ausgehend, daß\ der Begriff des Volumens eines Körpers elementarer sei als die Begriffe der Länge einer Kurve und der Oberfläche einer krummen Fläche, entwickelt der Verf. diese letzteren aus dem ersteren in folgender Weise. Es sei \(C\) eine Kurve und \(F\) eine Fläche. Um jeden Punkt von \(C\), bezw. von \(F\) als Mittelpunkt denke man sich eine Kugel mit dem Radius \(r\) abgegrenzt, unter \(r\) eine feste positive Größe verstanden. Die Menge aller derjenigen Punkte des Raumes, welche in das Innere oder in die Begrenzung von wenigstens einer dieser Kugeln zu liegen kommen, definiert den Bereich der Entfernung \(\leqq r\) von der Kurve \(C\), bezw. von der Fläche \(F\). Es sei \(V(r)\) das Volumen dieses Bereiches (falls ihm ein bestimmtes Volumen zukommt), so können \(\lim_{r=0} \frac{V(r)}{\pi r^2}\) und \(\lim_{r=O} \frac{V(r)}{2r}\) (vorausgesetzt, daß\ diese Grenzwerte existieren) als die Länge der Kurve \(C\) und die Oberfläche der Fläche \(F\) eingeführt werden. Diese Definition einer Oberfläche führt zu einer Verallgemeinerung des Begriffs Oberfläche, wenn man statt der Kugeln beliebige einander ähnliche und ähnlich gelegene konvexe Körper verwendet. Von diesen Betrachtungen wird schließlich Gebrauch gemacht, um einen neuen und strengen Beweis des Satzes zu geben, daß\ unter allen konvexen Körpern gleichen Volumens die Kugel die kleinste Oberfläche hat, und um diesen Satz auf einen inhaltreicheren und analytisch einfacheren zurückzuführen.