Question 14447. (Q1509571)

``Wenn \(f(x)\) endlich und stetig ist für alle positiven Werte von \(x\) mit Ausnahme einer endlichen Zahl von Werten, so sind \[ \int_0^{\infty} \sin \{ f(x) \} dx \text{ und } \int_0^{\infty} \cos \{ f(x) \}dx \] konvergent oder divergent, je nachdem \(\lim \frac{df(x)}{dx}\) für \(x= \infty\) unendlich oder endlich ist; ausgenommen wenn \(\lim f(x) =0\) oder \(n\pi\) oder wenn \(\lim f(x) = \frac 12 \pi\) oder \(\frac 12 \pi (2n+1)\) ist''. Dieser von \textit{Curjel} zum Beweise vorgelegte Satz ist, wie \textit{Hardy} zeigt, nicht richtig. \textit{Curjel} fügt daher hinzu, \(f'(x)\) müsse stetig unendlich werden.