The theory of \textit{Cauchy}'s principal values. (Second paper: the use of principal values in some of the double limit problems of the integral calculus.) (Q1509573)

(Siehe auch JFM 32.0303.03) Ist die Funktion \(f(x)\) in dem Intervalle \(a\dots A\) integrabel, außer in der Umgebung der Stelle \(\xi\), so kann das Integral \(\int_a^A f(x) dx\) nur durch die Gleichung definieren: \[ \int_a^A f(x) dx = \lim_{\varepsilon =0} \int_a^{\xi - \varepsilon} f(x) dx + \lim_{\varepsilon' =0} \int_{\xi + \varepsilon'}^A f(x) dx. \] Gewöhnlich betrachtet man nur den Fall, daß\ die auf der rechten Seite geforderten Grenzübergänge völlig unabhängig von einander sind. Im entgegengesetzten Falle ist es möglich, daß\ die rechte Seite der obigen Gleichung nur für spezielle Arten des Grenzüberganges, bei welchen also \(\varepsilon\) und \(\varepsilon'\) nicht unabhängig von einander der Null zustreben, bestimmte Grenzwerte besitzt. Der Wert des Integrales hängt mithin wesentlich von der gewählten Art des Grenzüberganges ab. \textit{Cauchy} hat den für die Annahme \(\varepsilon = \varepsilon'\) sich ergebenden Wert als den Hauptwert des Integrals \(\int_a^A f(x)dx\) bezeichnet. Wegen der Willkürlichkeit des Grenzübergangs haben aber die meisten Forscher sich dieser Erweiterung des Begriffs des uneigentlich bestimmten Integrals gegenüber (dem Vorgange \textit{Riemanns} folgend) ablehnend verhalten. Der Verf. gibt in den vorliegenden beiden Abhandlungen eine eingehende Untersuchung der \textit{Cauchy}schen Hauptwerte und einiger mit ihnen zusammenhängenden Fragen, z. B. der folgenden: Unter welchen Bedingungen ist es erlaubt, eine unendliche Reihe gliedweise zu integrieren, wenn unter den auftretenden Integralen einige oder alle nur Hauptwerte besitzen? Wann kann man bei einem solchen Integral unter dem Integralzeichen differenzieren?