Sur les équations différentielles linéaires qui sont de la même espèce. (Q1509599)

Verf. betrachtet hauptsächlich die linearen Differentialgleichungen (B) \(L_{\alpha \beta} =0\) von der Ordnung \(\overset{=}< n^2\), denen die \(n^2\) Funktionen \(\frac{d^{\alpha} y_i}{dx^{\alpha}} \cdot \frac{d^{\beta} y_i}{dx^{\beta}}\), \(\frac{d^{\alpha} y_i}{dx^{\alpha}} \cdot \frac{d^{\beta} y_k}{dx^{\beta}}\) \((i= 1,2, \dots, n)\) genügen, wenn die \(y_i, y_k\) Integrale einer homogenen linearen Differentialgleichung \(n\)-ter Ordnung (A) sind. Jede Differentialgleichung (B) ist reduktibel; u. a. genügen ihr die Integrale einer zu (A) assoziierten Differentialgleichung. Damit die Gleichung (A) mit ihrer \textit{Lagrange}schen Adjungirten zu derselben Art gehöre, muß\ \textit{jede} Gleichung (B) von der Ordnung \(n^2\) ein rationales Integral besitzen. Besitzt irgend eine Gleichung (B) von der Ordnung \(n^2\) ein rationales Integral, so ist Gleichung (A) mit ihrer Adjungirten von derselben Art oder reduktibel. Die notwendige und hinreichende Bedingung für das Bestehen homogener Relationen mit konstanten Koeffizienten zwischen den \(n^2\) Produkten \(y_i^{(\alpha)} y_k^{(\beta)}\) ist die, daß\ eine der Gleichungen (B) von niedrigerer Ordnung als \(n^2\) ist (vergl. die Untersuchungen von \textit{R. Fuchs, Gino Fano} u. a.).