Ein Satz über vertauschbare Matrizen und seine Anwendung in der Theorie linearer Differentialgleichungen. (Q1509607)

Sind \(\varTheta_1, \varTheta_2 , \dots, \varTheta_p\) eine beliebige Anzahl unter einander vertauschbarer linearer Substitutionen, die auf \(n\) Elemente \(z_1, \dots, z_n\) ausgeübt werden, so daß\ \(a_k z_{\lambda} = a_{\lambda 1}^k z_1 + \cdots + a_{\lambda n}^k z_n,\; (\lambda = 1, \dots, n)\), dann gilt der Satz: Es läßt sich stets eine derartige Substitution \(T\) auffinden, daß\ die ähnlichen Substitutionen \(T\varTheta_1 T^{-1}, T\varTheta_2 T^{-1}, \dots, T\varTheta_p T^{-1}\) in derselben Weise in Gruppen zerfallen derart, daß\ die nach der \textit{Frobenius}schen Bezeichnung charakteristischen Gleichungen einzelner Substitutionen, in welche irgend ein \(T\varTheta_i T^{-1}\) gespalten wird, nur je eine Wurzel besitzen, die auch vielfach sein kann. Eine Folge dieses Satzes ist; daß, wenn die Monodromiegruppe einer linearen homogenen Differentialgleichung aus lauter vertauschbaren Substitutionen besteht, die Differentialgleichung mindestens ein partikulares Integral der Eigenschaft \[ \varTheta_1 y = \omega_1y,\;\varTheta_2 y = \omega_2 y, \dots, \varTheta_p y = \omega_p y \] besitzt, wobei \(\varTheta_1, \dots, \varTheta_p\) ein System von Fundamentalsubstitutionen der Differentialgleichung darstellen. Da die logarithmische Ableitung von \(y\) demnach eindeutig ist, so genügt \(y\) einer linearen Differentialgleichung erster Ordnung mit eindeutigen Koeffizienten. Man beweist dann leicht, daß\ die Integration einer linearen Differentialgleichung mit vertauschbarer Monodromiegruppe auf die einer Kette von linearen Differentialgleichungen erster Ordnung mit eindeutigen Koeffizienten, die, wenn die Differentialgleichung der \textit{Fuchs}schen Klasse in einer \textit{Riemann}schen Fläche angehört, rationale Funktionen des Ortes derselben sind, zurückgeführt werden kann.