Über Systeme linearer Differentialgleichungen erster Ordnung mit doppeltperiodischen Koeffizienten. (Q1509608)

In dem System \[ \frac{dx^{(i)}}{dt} = a_{i1} x^{(1)} + a_{i2} x^{(2)} + \dots + a_{in} x^{(n)} \qquad (i= 1,2, \dots, n) \] seien \(a_{ix}\) eindeutige doppeltperiodische Funktionen von \(t\) mit dem Perioden \(\omega_1\) und \(\omega_2\). Nur solche linear unabhängige Integralsysteme \[ (x^{(1)}, x^{(2)}, \dots, x^{(n)}) \] werden in Betracht gezogen, die allenthalben eindeutig sind, und die analytische Form derselben wird abgeleitet. Sie zerfallen bei geeigneter Wahl in solche Gruppen, daß\ die \(m\) linear unabhängigen Integralsysteme, die zu einer solchen Gruppen gehören, die Form haben: \[ x_1^{(k)} =T_1^{(k)} (t),\;x_2= \varphi_2^1 T_1^{(k)} (t) + T_2^{(k)} (t), \] \[ \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \] \[ x_m^{(k)} = \varphi_m^{(m-1)} T_1^{(k)} (t) + \varphi_m^{(m-2)} T_2^{(k)} (t) + \cdots + \varphi_1^{(m)} T_{(m-1)}^{(k)} (t) + T_m^{(k)} (t) \] \[ (k= 1,2, \dots, n). \] Die \(T^{(k)} (t)\) sind doppeltperiodische Funktionen zweiter Gattung mit demselben Multiplikatorenpaar in derselben Gruppe, \(\varphi_{\nu}^{(\lambda)}\) ist eine ganze rationale Funktion von \(\frac{\sigma' (t)}{\sigma (t)}\) und \(t\) höchstens vom \(\lambda\)-ten Grade, wo \(\sigma\) die \textit{Weierstraß}sche Sigmafunktion mit den Perioden \(\omega_1\) und \(\omega_2\) bedeutet. Die befolgte Methode ist auch auf Differentialgleichungen anwendbar, deren Koeffizienten in einer beliebigen \textit{Riemann}schen Fläche eindeutig sind, und deren Monodromiegruppe aus lauter vertauschbaren Substitutionen besteht.