Invariants of systems of linear differential equations. (Q1509611)

Im Anschluß\ an eine frühere Arbeit des Verf. (vergl. vorstehendes Referat, siehe JFM 32.0332.01) werden hier die Kombinationen der Koeffizienten eines Systems von \(n\) homogenen linearen Differentialgleichungen \(m\)-ter Ordnung untersucht, die bei der Transformation \[ x= f(\xi),\quad y_k = \sum_{i=1}^n a_{ki} (\xi) \eta, \] wo \(f\) und \(a_{ki}\) willkürliche Funktionen von \(\xi\) sind, invariant bleiben. Das zu Grunde gelegte System hat die Form \[ y_i^{(m)} + \sum_{l=0}^{m-1} \sum_{k=1}^n p_{ikl} y_k^{(l)} \qquad (i= 1,2, \dots, n). \] Zunächst werden die sogenannten Seminvarianten ermittelt, d. h. diejenigen Funktionen der Koeffizienten, die allein bei der Transformation \(y_k = \sum_{i=1}^n a_{ki} (\xi) \eta\) invariant bleiben. Zu dem Ende werden in übersichtlichster Weise die Relationen zwischen den Koeffizienten des gegebenen und transformierten Systems entwickelt und daraus die infinitesimalen Transformationen von \(p_{\lambda \mu \nu}\) abgeleitet, welche die bemerkenswert einfache Gestalt erhalten: \[ \frac{\delta p_{\lambda \mu \nu}}{\delta t} = \sum_{k=1}^n (\varPhi_{k\mu} p_{\lambda k\nu} - \varPhi_{\lambda k} p_{k\mu \nu}) + \sum_{k=1}^n \sum_{\tau =1}^{m-1-\nu} \begin{pmatrix} \nu + \tau \\ \tau \end{pmatrix} \varPhi_{k\mu}^{(\tau)} p_{\lambda, k, \nu +\tau} + \begin{pmatrix} m \\ m- \nu \end{pmatrix} \varPhi_{\lambda \mu}^{(m- \nu)} \] \[ (\lambda, \mu = 1,2, \dots, n;\; \nu = 0,1,2, \dots, m-1) \] wo \(\delta t\) eine infinitesimale Größe, die \(\varPhi_{ik}\) willkürliche Funktionen, endlich die oberen Indizes Ableitungen bedeuten. Die infinitesimalen Transformationen von \(p_{\lambda \mu \nu}', p^{\prime\prime}_{\lambda \mu \nu}, \dots\) werden durch Differentiation der obigen erhalten. Wie aus diesen Formeln die Seminvarianten \(f\) zu berechnen sind, wird an dem besonderen Falle \(m=n=2\) in einer Weise gezeigt, die die Anwendung auf den allgemeinen Fall erkennen läßt. In diesem Falle ist das Differentialgleichungssystem von der Form \[ (1) \quad y^{\prime\prime}_i + p_{i1} y_1' + p_{i2} y_2' + q_{i1} y_1 + q_{i2} y_2 =0 \quad (l= 1,2), \] indem \(p_{\lambda \mu 1} = p_{\lambda \mu 0}\), \(p_{\lambda \mu 0} = q_{\lambda \mu}\) gesetzt ist. Soll \(f\) nur von \(p_{\lambda \mu}, p_{\lambda \mu}', q_{\lambda \mu}\) abhängen, so besteht die Gleichung \[ \sum_{\lambda \mu}\;\frac{\partial f}{\partial p_{\lambda \mu}}\;\delta p_{\lambda \mu} + \frac{\partial f}{\partial p_{\lambda \mu}'}\;\delta p_{\lambda \mu}' + \frac{\partial f}{\partial q_{\lambda \mu}}\;\delta q_{\lambda \mu} =0 \] für alle Werte von \(\varPhi_{r,s}, \varPhi_{r,s}', \varPhi_{r,s}^{\prime\prime}\) die in den entsprechenden infinitesimalen Transformationen auftreten, und indem die Koeffizienten dieser 12 willkürlichen Funktionen gleich Null gesetzt werden, erhält man für \(f\) ein System von 12 linearen partiellen Differentialgleichungen mit 12 unabhängigen Variablen. Die Diskussion derselben ergibt zwei von diesen sukzessive zu denjenigen gelangt, die noch von höherer Ableitung der Größen \(p_{\lambda \mu}, q_{\lambda \mu}\) abhängen. Das Resultat ist, daß\ alle Seminvarianten des Systems (1) Funktionen von vier explizite angegebenen Seminvarianten und deren Ableitungen sind. Als Anwendung folgt die Angabe der Bedingungen dafür, daß\ das System \((t)\) auf die Form \[ y_i^{\prime\prime} + py_i' + qy_i =0 \qquad (i= 1,2) \] reduziert werden kann. Um die Invarianten des Systems (1) zu berechnen, hat man unter den gefundenen Seminvarianten diejenigen auszuwählen, die bei der Substitution der willkürlichen Funktion \(\xi(x)\) für \(x\) sich, mit einer Potenz von \(\xi'(x)\) multipliziert, reproduzieren. Weist man den Größen \(p_{i\kappa}, q_{i\kappa}\) resp. die Gewichte \(-1\), \(-2\), den Ableitungen \(p_{i\kappa}^{(\mu)}, q_{i\kappa}^{(\mu)}\) resp. die Gewichte \(-1- \lambda, -2- \mu\) zu, so sind die relativen Invarianten isobarisch in den Koeffizienten, und eine solche vom Gewichte \(-\nu\) genügt der Gleichung \(\xi'(x)^{\nu} \varTheta_{\nu} (\xi) = \varTheta_{\nu} (x)\), und die entsprechende infinitesimale Transformation lautet: \[ \delta \sigma_{\nu} =- \nu \varPhi' (x) \varTheta_{\nu} \delta t. \] Mit Hülfe der letzteren Relation findet man vier relative Invarianten, entsprechend \(\nu = 4,6,8,10\). Neue Invarianten werden durch die logarithmische Differentiation der absoluten Invariante \(\varTheta_{\lambda}^{\mu} /\varTheta_{\mu}^{\lambda}\) gefunden, und auf diesem Wege werden schließlich sämtliche Invarianten erhalten, die keine höheren Derivierten vor \(p_{ik}\) als die dritten und keine höheren Derivierten von \(q_{ik}\) als die zweiten enthalten. Den Beschluß\ bilden Bemerkungen über die Reduktion des Systems (1) auf die ``kanonische Form'' \[ \frac{d^2 \eta_i}{d\xi^2} + \varrho_{i1} \eta_1 + \varrho_{i2} \eta_2 =0 \qquad (i= 1,2), \] wo \(\varrho_{11} + \varrho_{22} =0\), und Andeutungen über die Bildung von Kovarianten des Systems (1).