Sur une manière d'étendre le théorème de la moyenne aux équations différentielles du premier ordre. (Q1509614)

Ist eine beliebige Differentialgleichung erster Ordnung \[ \frac{dy}{dx} = F(x,y) \] mit der Bedingung \(y=y_0\) für \(x= x_0\) gegeben, so handelt es sich darum, zwei andere Gleichungen \[ \frac{du}{dx} = F_1(x, u), \quad \frac{dv}{dx} = F_2(x,v) \] zu finden, so daß\ in einem gewissen, \(x=x_0\) enthaltenden Intervalle von \(x\) der Wert des Integrals \(y\) eingeschlossen ist zwischen den entsprechenden Werten der Integrale \(u\) und \(v\), die für \(x=x_0\) den Wert \(u=v_0=y_0\) annehmen. Ist \(x=x_0\), \(y=y_0\) eine Stelle, die für keine der Funktionen \(F_1, F_1, F_2\) singulär ist, haben ferner in diesem Punkte \[ F(x,y) - F_1(x,y),\;F(x,y) - F_2(x,y) \] Werte, die von Null verschieden und von entgegengesetztem Vorzeichen sind, so gibt es stets ein endliches Intervall \[ x=x_0 -h_1 \text{ bis } x=x_0 +h_2, \] innerhalb dessen das Integral \(y\) bestimmt, endlich, kontinuirlich und zwischen den entsprechenden Werten von \(u\) und \(v\), enthalten ist. Es werden noch andere Methoden angegeben, zu einem Mittelwerte des Integrals \(y\) zu gelangen, von denen wir folgende hervorheben. Die Gleichung habe die Form \(\frac{dy}{dx} = F(x,y,f)\), wo \(f\) eine gegebene Funktion von \(x\) und es seien ferner \(u\) und \(v\) Integrale von \[ \frac{du}{dx} = F(x,u, \varphi),\quad \frac{dv}{dx} =F(x,v, \psi), \] wo \(\varphi\) und \(\psi\) so gewählt sind, daß\ \(\varphi < f< \psi\) innerhalb eines Intervalles \(x= x_0 - a_1\) bis \(x=x_0 + a_2\) und für \(x=x_0\), \(u_0 = v_0 = y_0\) ist; dann läßt sich ein Intervall \(x=x_0 -h\) bis \(x= x_0 +h\) bestimmen, für welches das Integral \(y\), das für \(x=x_0\) den Wert \(y_0\) annimmt, zwischen den entsprechenden Werten der Integrale \(u\) und \(v\) eingeschlossen ist. Das vorgeschriebene Verfahren wird an einzelnen Beispielen veranschaulicht.