A geometrical theory of differential equations of the first and second orders. (Q1509623)

Zweck dieser Arbeit ist die Auffindung der Bedingungen dafür, daß\ eine algebraische Differentialgleichung zweiter Ordnung singuläre Lösungen habe. Die Variablen werden als reell betrachtet, so daß\ die geometrische Terminologie durchgängig Anwendung findet. Da die singulären Lösungen, wenn sie existieren, einer Differentialgleichung erster Ordnung genügen, so geht eine Untersuchung dieser Gleichungen voran. Die geometrische Methode, die der Verf. dabei anwendet, besteht darin, die Differentialgleichung \(f(x,y,y') =0\) durch die beiden Gleichungen \(f(x,y,z)=0\), \(dy-zdx=0\) zu ersetzen. Einer Integralkurve, \(\alpha(x,y) =0\) entspricht dann eine auf der Fläche \(f=0\) liegende Raumkurve, deren Projektion auf die \(xy\)-Ebene \(\alpha =0\) ist. Insbesondere beschäftigt sich der Verf. mit der Ermittelung der Bedingungen dafür, daß\ eine singuläre Lösung der Gleichung eine oskulierende Enveloppe darstelle. Es wird angegeben, daß\ es hierzu im allgemeinen hinreichend ist, daß\ für jeden Punkt der Lösung \[ \frac{\partial f}{\partial y} =0,\quad \frac{\partial f}{\partial y'} =0,\quad \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial y'}=0,\quad \frac{\partial^2 f}{\partial y'^2} =0 \] ist. Wenn aber noch (S. 394) hinzugefügt wird, daß, falls außerdem \(\frac{\partial^3 f}{\partial y'^3} =0\), die Enveloppe nicht oskulierend sein kann, so ist das ein Irrtum, wie das Beispiel \(y'^4 = y^3\) zeigt, dessen allgemeines Integral \(y= \left( \frac{x-c}{4} \right)^4\) ist. Für die durch dasselbe dargestellte Kurvenschar bildet offenbar die singuläre Lösung \(y=0\) die \textit{oskulierende} Enveloppe. Zur Untersuchung der Differentialgleichung zweiter Ordnung \[ F(x,y,y',y'')=0, \] wo \(F\) ein Polynom vom \(n\)-ten Grade in \(y''\) bedeutet, werden die durch die Gleichungen \(dx= \frac{dy}{z} = \frac{dz}{w}\) definierten Raumkurven (\(\gamma\)-Kurven genannt) betrachtet, worin \(w\) durch die Gleichung \(F(x,y,z,w)=0\) gegeben ist. Durch jeden Punkt \((x,y,z)\) gehen \(n\) \(n \gamma\)-Kurven, deren Tangenten in der nämtlichen Vertikalebene \(Y-y = z(X-x)\) liegen. Ist \(\varDelta(x,y,z)\) die \(w\)-Diskriminante von \(F\), dann hat die Fläche \(\varDelta =0\) die Eigenschaft, daß\ zwei der \(n \gamma\)-Kurven, die durch einen Punkt der Fläche gehen, dieselbe Tangente haben. Das bedeutet, daß\ die entsprechenden Integralkurven in der \(xy\)-Ebene, \(F\)-Kurven eine solche Folge bilden, daß\ jede die benachbarte \(X\) berührt, ist die Enveloppe derselben eine oskulierende Enveloppe und ein singuläres Integral. Es werden zwei Arten von singulären Integralen unterschieden, je nachdem eine Lösung von \(\varDelta (x,y,y')=0\), die zugleich der Gleichung \(F(x,y,y',y'')=0\) genügt, eine nicht singuläre oder eine singuläre Lösung von \(\varDelta =0\) ist. Die Bedingungen für die Existenz dieser beiden Arten von Lösungen werden angegeben, und ihre Beziehungen zu den anderen Lösungen, den \(F\)-Kurven, werden in geometrischem Gewande darstellt.