Sur les équations différentielles du second ordre et d'ordre supérieur dont l'intégrale générale est uniforme. (Q1509624)

Die Differentialgleichungen, deren allgemeines Integral eindeutig ist, bilden einen besonderen Fall derjenigen, die nur feste Verzweigungspunkte besitzen. Das Problem, diese Differentialgleichungen zu bestimmen, ist bekanntlich für diejenigen erster Ordnung durch \textit{Fuchs} gelöst worden. Der Verf., der sich diese Frage für Differentialgleichungen höherer Ordnung gestellt hat, gibt in vorliegender Arbeit eine Übersicht der von ihm bisher gefundenen Resultate ohne Angabe der zu ihnen führenden Methoden und Beweise, deren Entwicklung den Gegenstand einer Reihe demnächst erscheinender Abhandlungen bilden wird. Zunächst werden alle Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit festen Verzweigungspunkten von der Form (1) \(y'' = R(y',y, x)\) bestimmt, wo \(R\) rational in \(y'\), algebraisch in \(y\), analytisch in \(x\) ist. Unter diesen gibt es drei Typen von Differentialgleichungen, deren allgemeines Integral eindeutig ist. Dieses Integral ist meromorph in der ganzen Ebene und durch den Quotienten zweier ganzen Funktionen darstellbar. Die erwähnten Typen von Differentialgleichungen bieten, wie der Verf. hervorhebt, das erste bekannte Beispiel von Gleichungen, die mit Hülfe der Prinzipien der Funktionentheorie sich integrieren lassen, ohne daß\ man sie auf eine Kombination der linearen Differentialgleichungen, Quadraturen oder Differentialgleichungen erster Ordnung zurückführen kann, und somit erhält man in den Integralen derselben wesentlich neue eindeutige Transzendenten. Für eine besondere Klasse, die zu diesen Typen gehört: \[ y'' = 6y^2 +x, \] wird noch eine Reihe von Eigenschaften angeführt, von denen wir die hervorheben, daß\ die Gleichung \(y(x) = A\), wo \(y\) ein partikulares Integral bedeutet, unendlich viele Wurzeln hat. Mit Hülfe der vollständigen Tafel der sogenannten ``kanonischen'' Gleichungen mit festen Verzweigungspunkten kann auch erkannt werden, ob eine \textit{gegebene} Gleichung der Form (1) nur feste Verzweigungspunkte besitzt, und zwar geschieht die Entscheidung durch algebraische Prozesse. Der Fall, wo \(y''\) in höherem als dem ersten Grade in der Differentialgleichung zweiter Ordnung vorkommt, wird nicht vollständig erledigt; doch wird eine Reihe sehr weit reichender Resultate für diesen Fall mitgeteilt. Desgleichen wird für die Behandlung der Differentialgleichungen dritter Ordnung mit nur festen Verzweigungspunkten allein der Weg angegeben. Zum Schluß\ wird die Rolle erörtert, welche die neuen Transzendenten in der allgemeinen Funktionentheorie zu spielen berufen sind, und auf die Berührungen hingewiesen, welche die Differentialgleichungen mit festen Verzweigungspunkten mit anderen Gebieten, u. a. mit der \textit{Lie}schen Transformationstheorie sowie mit Problemen der Mechanik, haben (vergl. F. d. M. 31, 335-338, 1900, siehe JFM 31.0335.02, JFM 31.0335.03, JFM 31.0336.01, JFM 31.0336.02, JFM 31.0337.01, JFM 31.0337.02 und JFM 31.0337.03).