Proof of the third fundamental theorem in \textit{Lie's} theory of continuous groups. (Q1509688)

Der Verf. denkt sich ein System von \(r^3\) Konstanten \(c_{i \kappa s}\) gegeben, das den bekannten \textit{Lie}schen Bedingungen \(c_{i\kappa s} + c_{\kappa is}\) und \[ \sum_{\nu} (c_{i\kappa \nu} c_{\nu js} + c_{\kappa j\nu} c_{\nu is} + c_{ji\nu} c_{\nu \kappa s} )=0 \] genügt, und will den \textit{Lie}schen Satz beweisen, daß\ es dann immer \(r\)-gliedrige Gruppen von der Zusammensetzung \(c_{i \kappa s}\) gibt. Er nimmt an, daß\ in der \(r^2\)-reihigen Matrix \[ | c_{1i \kappa} c_{2i \kappa} \dots c_{ri \kappa} | \qquad (i, \kappa = 1, \dots, r) \] alle \((n+1)\)-reihigen, nicht aber alle \(n\)-reihigen Determinanten verschwinden, so daß\ also die gesuchte Gruppe \(r-n\) unabhängige ausgezeichnete infinitesimale Transformationen enthalten muß. Er zeigt, daß\ man ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen kann, daß\ alle \(c_{i\kappa s}\), in denen wenigstens eine der beiden Zahlen \(i, \kappa\) größer als \(n\) ist, verschwinden. Die neue Matrix hat wieder den Rang \(n\); der Verf. nimmt aber als selbstverständlich an, daß\ auch die verkürzte Matrix mit \(n^2\) Reihen: \[ | c_{1i \kappa} \dots c_{ni \kappa} | \qquad (i, \kappa = 1, \dots, n) \] den Rang \(n\) besitze, und das braucht keineswegs der Fall zu sein, wie schon der Fall der dreigliedrigen Gruppe \(p, q, xq\) beweist. Da nun der ganze folgende Beweis gerade auf dieser Annahme beruht, so ist er nicht allgemein gültig, sondern nur für solche Zusammensetzungen \(r\)-gliedriger Gruppen, bei denen man, wenn in den Gleichungen \[ (X_i X_{\kappa}) = \sum c_{i\kappa s} X_s f \] alle ausgezeichneten infinitesimalen Transformationen gleich Null gesetzt werden, die Zusammensetzung einer Gruppe ohne ausgezeichnete infinitesimale Transformationen erhält. Das Verfahren des Verf. (er konstruiert zuerst mit Hülfe der adjungierten Gruppe eine \(n\)-gliedrige einfache transitive Gruppe von der Zusammensetzung \(c_{i\kappa s}\) \((i, \kappa, s = 1, \dots, n)\) und dann durch Integration eine \(r\)-gliedrige Gruppe) wird allerdings wohl auch im allgemeinen Falle zum Ziele führen, wenn man es mehrere Male hinter einander anwendet; aber der ganze Beweis verliert dadurch sehr wesentlich an seiner Einfachheit.