New proof of a theorem of \textit{Osgood'}s in the calculus of variations. (Q1509698)

Man sagt, daß\ das Integral \[ I= \int_{t_0}^{t_1} F(x,y, x', y')dt \] für die Funktionen \(x = \varPhi(t), y = \Psi(t)\), welche eine Kurve C bestimmen, zu einem Minimum gemacht wird, wenn der Wert \(J\) des Integrals für die Kurve \(C\) kleiner ist als sein Wert \(I\) für irgend eine andere Kurve \(\overline C\) einer gewissen Klasse \((K)\) von Kurven, welche sämtlich in der Nachbarschaft \(T\) von \(C\) liegen, also \(I>J\). \textit{Weierstraß} hat für das Eintreten des Minimums eine hinreichende Bedingung gegeben. \textit{Osgood} (siehe JFM 32.0384.01) stellt nun den folgenden Satz auf: Ist die \textit{Weierstraß}sche hinreichende Bedingung erfüllt, gibt also keine von \(C\) verschiedene Kurve der Klasse \((K)\) dem Integrale \(I\) einen solch kleinen Wert wie \(J\), so kann es in dieser Klasse nicht noch eine Reihe von Kurven \(\overline C_1, \overline C_2, \dots\) geben, welche sich nicht um \(C\) als Grenze zusammenhäufen und die Eigenschaft besitzen, daß, wenn \(I_1, I_2, \dots\) die Werte der für diese Kurven gebildeten Integrale \(I\) bezeichnen, \(\lim_{n= \infty} I_n =J\) ist. Um diesen Satz zu beweisen, wird nachgewiesen, daß, wenn \({\mathfrak T}\) eine beliebig kleine Nachbarschaft von \(C\), welches ganz innerhalb \(T\) liegt, die untere Grenze von \(I\) gebildet für alle Kurven der Klasse \((K)\), welche nicht ganz innerhalb \({\mathfrak T}\) liegen, um eine positive Größe \(\varepsilon\) größer als \(J\) ist. Mittels dieses Satzes ist es möglich, ein wichtiges Problem über den Umfang der Kurvenklasse \((K)\) zu untersuchen. Es fragt sich, welche Kurven diese Klasse umfassen darf. Das Natürlichste ist, die Klasse \((K)\) so weit auszudehnen, bis Grenzen erreicht sind, welche durch die Natur des gestellten Problems, nicht durch die Bedürfnisse des Beweises diktiert sind. \textit{Weierstraß} hat in seinen Vorlesungen einen dieses Problem betreffenden Satz aufgestellt, aber nicht bewiesen. Der Beweis dieses Satzes bildet den Schluß\ der vorliegenden Abhandlung von \textit{Osgood}. Der von \textit{Osgood} gegebene, nicht ganz einfache Beweis seines obigen Theorems wird von \textit{Bolza} vereinfacht.