Theory of analytic functions (Q1509705)

Das handliche Buch enthält in klarer und systematischer Darstellung eine Einführung in die moderne Funktionentheorie; unter strenger Einhaltung der elementaren Methoden von \textit{Weierstraß} führt es von den grundlegenden Begriffen bis zu den Untersuchungen, die augenblicklich das Interesse der Forschung beanspruchen und zum Teil sich noch nicht der elementaren Entwicklung anpassen lassen. Von den drei Teilen, in welche das Buch sich gliedert, enthält der erste einen Abriß\ der Lehre von den Punktmengen und den transfiniten Zahlen. Der zweite Teil behandelt die eigentliche Theorie der analytischen Funktionen in dem Umfange, den der Verf. mit Recht als nunmehr klassisch bezeichnet. Der Inhalt dieses Teiles ist nach folgenden Stichwörtern geordnet: Funktionen der Punkte eines Bereiches; Potenzreihen; Mittelwert und Anwendungen desselben; Ableitung und Integral einer Potenzreihe; abgeleitete Reihe (analytische Fortsetzung); analytische Funktionen; singuläre Punkte, \textit{Laurent}scher Satz; die rationalen Funktionen als analytische Funktionen betrachtet; Fundamentaleigenschaften der ganzen Funktionen; Untersuchung derselben; Funktionen mit einer singulären Stelle im Endlichen; Funktionen mit einer endlichen Anzahl singulärer Stellen; Funktionen mit unendlich vielen außerwesentlichen und einer einzigen wesentlichen singulären Stelle; Funktionen mit unendlich vielen außerwesentlichen und einer endlichen Anzahl wesentlicher Singularitäten; Funktionen mit unendlich vielen beliebigen Singularitäten; \textit{Mittag-Lefflers} Satz. Den dritten Teil hat der Verf. als ``Komplemente der Theorie der analytischen Funktionen'' bezeichnet. Es werden darin die hauptsächlichsten Ergebnisse der neueren Untersuchungen mitgeteilt, und zwar vielfach ohne Beweise, da sich diese, wie schon oben angedeutet, meist noch nicht in der elementaren Weise geben lassen, die der Verf. sonst in seinem Buche durchgehends befolgt hat. Dies hat zur Folge, daß\ dieser dritte Teil etwas inhomogen ausgefallen ist; aber andererseits besitzt dieser Teil das größte aktuelle Interesse. Er umfaßt die folgenden Kapitel: Untersuchungen von \textit{Poincaré, Hadamard, Borel} u. a. über die ganzen Funktionen, Satz von \textit{Picard}; Darstellung einer analytischen Funktion; Funktionen mit beschränktem Konvergenzbereich; Erweiterung des Begriffs der analytischen Fortsetzung; Beziehungen zwischen den Singularitäten zweier analytischen Funktionen; Über die Verteilung der singulären Stellen einer Potenzreihe auf der Peripherie des Konvergenzkreises. Den Abschluß\ des Buches bilden ein recht vollständiges bibliographisches Verzeichnis und ein alphabetisches Inhaltsverzeichnis.