Prime functions on a \textit{Riemann} surface. (Q1509746)

Der Verf. untersucht die Eigenschaften der transzendenten Funktionen, welche auf der zerschnittenen \textit{Riemann}schen Fläche eindeutig und bis auf etwaige Pole stetig sind und überdies zu beiden Seiten der Querschnitte ein durch die folgenden beiden Gleichungen bestimmtes Verhalten zeigen: \[ \left.\begin{aligned} \log \varphi (S_i z) & = \log \varphi (z) + \sum_j \alpha_{ij} u_j+ \beta_i, \\ \log \varphi (T_i z) & = \log \varphi (z) + \sum_j \gamma_{ij} u_j + \delta_i \end{aligned}\right\} \quad (i= 1,2, \dots, p). \] Hierin bedeutet \(S_i z, T_i z\) den Übergang von der einen Seite der \(2p\) Querschnitte auf die andere und \(u_1, u_2, \dots, u_p\) die \textit{Riemann}schen Normalintegrale erster Gattung. Die \(2p^2 + 2p\) Konstanten \(\alpha_{ij}, \beta_{ij}, \gamma_{ij}, \delta_i\) unterliegen \(p + 1\) linearen Gleichungen, sind aber sonst willkürlich. Solche Funktionen werden allgemein als Faktorfunktionen, wenn sie nur eine einfache Nullstelle und keine Unendlichkeitsstelle haben, als Primfunktionen, wenn sie gar keine Null- und Unendlichkeitsstelle haben, als akzidentelle Faktorfunktionen bezeichnet. Es wird zunächst gezeigt, daß\ die angegebenen Funktionen stets aus Exponentialgrößen der Form \[ e^{\int VdU} \] zusammengesetzt werden können, worin \(V\) ein Elementarintegral zweiter Gattung, \(U\) ein Integral erster Gattung bedeutet; tritt zu \(V\) ein Integral erster Gattung hinzu, so erhält die Funktion einen akzidentellen Faktor. Es werden sodann die wichtigsten Eigenschaften der Primfunktionen entwickelt und ihre Beziehungen zur \textit{Riemann}schen Theta-Funktion, zur \textit{Klein}schen Primform und zu der Transzendente \(T_{\xi \eta} (x_1, x_2, \dots, x_p)\) von \textit{Clebsch} und \textit{Gordan} dargelegt.