Bericht über den gegenwärtigen Stand der Lehre von den natürlichen Coordinaten. (Q1510543)

Die Abhandlung berichtet über verschiedene Arten von Coordinaten und giebt für jede Art Auskunft über die Arbeiten, in denen sie benutzt worden sind. Natürliche Coordinaten, d. h. Bestimmungsstücke, die nur von der Curve selbst abhängen, sind eigentlich erst im 19. Jahrhundert eingeführt worden. Dabei wurden versuchsweise folgende Bestimmungsstücke gewählt: 1. Bogenlänge \(s\) und Winkel \(\varphi\) der Tangente gegen eine feste Curventangente, 2. Winkel \(\varphi\) und Krümmungsradius \(\varrho\), 3. Bogenlänge \(s\) und Krümmungsradius \(\varrho\), von denen die letzten sich als die besten erwiesen haben. Da aber auch diese an dem Uebelstand leiden, dass der Anfangspunkt der Bogenlänge willkürlich ist, so wurden noch andere Bestimmungsstücke versucht, z. B. der Winkel \(\chi\), welchen die Curvennormale mit der Axe der osculirenden Parabel macht, und der Krümmungsradius \(\varrho_1\) der Evolute. In Bezug auf alle diese Coordinaten bemerkt der Verf., dass sie Differentialinvarianten der euklidischen Gruppe der Bewegungen vorstellen und folglich dadurch charakterisirt sind, dass die Gleichungen, in denen sie vorkommen, die \(\infty^3\) möglichen Lagen einer und derselben Curve in der Ebene repräsentiren. Nimmt man aber als Bestimmungsstücke Invarianten anderer Transformationsgruppen an, so bekommt man andere Arten von Coordinaten, welche der Verf. uneigentliche, halbnatürliche und Form-Coordinaten nennt; unter den halbnatürlichen sind besonders die Vectorpedalcoordinaten, d. h. Radiusvector \(r\) und Ursprungslot auf die Tangente \(p\), brauchbar. Zum Schluss hebt der Verfasser hervor, dass und warum die natürlichen Coordinaten die gewöhnlichen nicht zu ersetzen vermögen, wenn sie auch aus vielen Gesichtspunkten von hohem Wert sind. Als Anhang folgt ein ausführliches Litteraturverzeichnis.