Die Entwickelung der Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten. (Q1510607)

Diese umfang- und inhaltreiche Schrift ist mehr als ein blosser ``Bericht''. Der Verf. derselben hat sich nicht damit begnügt, die von verschiedenen Seiten erhaltenen Resultate zusammenzufassen und systematisch zu ordnen; er hat sich immer bemüht, bis in den Kern der Sache einzudringen, scheinbar weit liegende Untersuchungs- und Beweismethoden auf einen einzigen Begriff zurückzuführen, zerstreute Resultate zu einem organischen Ganzen zu verbinden. Durch diese ``organisirende'' Arbeit wird die Mengenlehre, nach des Verf. Ausdrucksweise, zu einer ``molecularen Theorie der mathematischen Gesetze''. Der bisher erschienene Teil des Berichtes erstreckt sich auf die Mengenlehre und auf deren Anwendung auf die Theorie der Functionen reeller Variablen. Er zerfällt in drei Abschnitte, die nach einander möglichst kurz besprochen werden mögen. Erster Abschnitt. Allgemeine Theorie der unendlichen Mengen. Kap. 1. Die Mächtigkeit oder Cardinalzahl. --- Der Hauptzweck der Mengenlehre ist, die Eigenschaften der endlichen Zahlen auf die unendlichen Mengen, dem Princip der Permanenz formeller Gesetze gemäss, zu übertragen. Als Grundlage dazu gilt der Mächtigkeits- oder Aequivalenz-Begriff. Die unendlichen Mengen weisen aber eine für dieselben charakteristische Eigenschaft auf: eine unendliche Menge ist einer ihrer Teilmengen äquivalent. Davon abgesehen, verhalten sich die Mächtigkeiten in Bezug auf Addition, Multiplication und Potenzirung ganz wie die endlichen Zahlen. Kap. 2. Die abzählbaren Mengen. Ist \(\mathfrak a\) die Mächtigkeit der abzählbaren Mengen, \(\mathfrak e\) die Mächtigkeit einer beliebigen endlichen Menge, \(\nu\) irgend eine gewöhnliche Zahl, so gelten die folgenden Gleichungen: \[ \mathfrak a+\mathfrak e = \mathfrak a,\quad \mathfrak a+\mathfrak a = \mathfrak a,\quad \nu\mathfrak a = \mathfrak a,\quad \mathfrak a^{\nu} = \mathfrak a. \] Die Menge der rationalen, bezw. algebraischen Zahlen ist abzählbar. Eine unendliche Menge von ausser einander liegenden Teilgebieten eines stetigen Raumes ist abzählbar. Sind \(M_0\), \(M_1\), \(M_2\), ... solche Mengen, dass jede derselben eine Teilmenge der vorhergehenden ist, und bezeichnet \(M_\omega\) den Inbegriff der allen diesen Mengen gemeinschaftlichen Elemente, was durch die Schreibweise: \[ M_\omega = \mathfrak D(M_0,M_1,M_2,\dots) \] ausgedrückt wird; ist ferner \(N_0\), \(N_1\), \(N_2\), ... eine Mengenreihe von derselben Beschaffenheit wie \(M_0\), \(M_1\), \(M_2\), ..., und \[ N_\omega = \mathfrak D(N_0,N_1,N_2,\dots),\quad M_6\thicksim N_0,\quad M_1\thicksim N_1,\quad M_2\thicksim N_2,\dots \] (wo \(\thicksim\) die Aequivalenz bezeichnet); so folgt \(M_\omega\thicksim N_\omega\). Kap. 3. Der Grössencharakter der Mächtigkeiten. --- Sind \(M\), \(N\) zwei Mengen, und bezeichnen \(M_1\), \(N_1\) irgend welche Teilmengen derselben, so findet einer und nur einer der folgenden vier Fälle statt: \[ \begin{aligned} &a)\text{ Es giebt ein }M_1\thicksim N\text{ und ein }N_1\thicksim M.\\ &b)\text{ Es giebt ein }M_1\thicksim N,\text{ aber kein }N_1\thicksim M.\\ &c)\text{ Es giebt ein }N_1\thicksim M,\text{ aber kein }M_1\thicksim N.\\ &d)\text{ Es giebt kein }M_1\thicksim N\text{ und kein }N_1\thicksim M.\end{aligned} \] Im Falle a) ist \(M\thicksim N\). In den Fällen b), c) sagt man, die Mächtigkeit von \(M\), sei grösser, bezw. kleiner als diejenige von \(N\). Der Fall d) findet für äquivalente endliche Mengen statt; ob er für unendliche Mengen möglich ist, hat sich bisher nicht entscheiden lassen. Kap. 4. Die einfachsten nicht abzählbaren Mengen. --- Das Contiunum ist nicht abzählbar; bezeichnet \(\mathfrak c\) seine Mächtigkeit, so ist: \[ \mathfrak c+\mathfrak a=\mathfrak c,\quad \nu\mathfrak c=\mathfrak c,\quad \mathfrak a\mathfrak c=\mathfrak c,\quad \mathfrak e^{\mathfrak a}=\mathfrak c,\quad \mathfrak c^{\nu}=\mathfrak c,\quad \mathfrak c^{\mathfrak a}=\mathfrak c. \] Die Menge der irrationalen, bezw. transcendenten Zahlen hat die Mächtigkeit \(\mathfrak c\). Dieselbe Mächtigkeit kommt dem Inbegriff aller stetigen, bezw. analytischen Functionen einer Variable zu; dagegen ist die Mächtigkeit des Inbegriffes aller Functionen einer Variable grösser als \(\mathfrak c\). Ist \(\mathfrak m\) eine beliebige Mächtigkeit, so ist \(\mathfrak m^{\mathfrak m} > \mathfrak m\), wodurch das Mittel geliefert wird, Mengen von unbeschränkt zunehmenden Mächtigkeiten zu erzeugen. Kap. 5. Die geordneten Mengen und die Ordnungstypen. --- Man kann, von dem Aehnlichkeitsbegriffe ausgehend, eine Arithmetik der (einfachen) Ordnungstypen bilden, die freilich von der gewöhnlichen Arithmetik in einigen Punkten abweicht. Definirt man dann das ``Grenzelement'' einer in einer geordneten Menge enthaltenen steigenden oder fallenden ``Fundamentalreihe'', so hat man dadurch das Analogon der Theorie der Irrationalzahlen, und diejenigen formalen Begriffe, die man gewöhnlich als Eigenschaften des linearen Zahlencontinuums ansieht, können auf die Ordnungstypen übertragen werden. Einige Worte über die Typen \(R\), \(C\) der Mengen der nach zunehmender Grösse geordneten rationalen, bezw. reellen Zahlen und über die mehrfachen Ordnungstypen schliessen das Kapitel. Kap. 6. Die wohlgeordneten Mengen und die Ordnungszahlen. Kap. 7. Die höheren Zahlenklassen. --- Die Theorie der wohlgeordneten Mengen und der transfiniten Zahlen wird hier wesentlich nach den letzten Arbeiten Cantor's (Math. Ann. 46 und 49) entwickelt; als Anwendung wird ein wichtiger, die mehrwertigen analytischen Functionen betreffender Satz angeführt, worauf die Theorie der du Bois-Reymond'schen ``Unendlich der Functionen'' folgt. Zweiter Abschnitt. Theorie der Punktmengen. Kap. 1. Allgemeine Sätze über Punktmengen. --- Grenzpunkte, abgeleitete Mengen. Kap. 2. Die Mächtigkeit der Punktmengen. Kap. 3. Die abgeschlossenen und perfecten Punktmengen. --- Mächtigkeit der abgeschlossenen Mengen, nirgends dichte abgeschlossene Mengen, Mächtigkeit der perfecten Mengen; Uebertragung der Eigenschaften der im stetigen Raume liegenden Mengen auf die Teilmengen einer nirgends dichten geschlossenen Menge. Kap. 4. Der Inhalt der Punktmengen. --- Die verschiedenen Definitionen des Inhalts nach Hankel-Cantor, Peano-Jordan und Borel; darauf bezügliche Sätze. Kap. 5. Beispiele und Punktmengen besonderer Art. --- Specielle Mengen sind von verschiedenen Autoren construirt worden. Besonders wichtig ist die Spaltung des Continuums in überall dichte Teilmengen von der Mächtigkeit \(\mathfrak c\), womit die neuesten Untersuchungen von Baire zusammenhängen. Dritter Abschnitt. Anwendungen auf Functionen reeller Variablen. Kap. 1. Der Stetigkeitsbegriff. --- Dieser Begriff kann auch dann Anwendung finden, wenn der Bereich der unabhängigen Veränderlichen nicht ein stetiges Intervall, sondern eine beliebige nicht isolirte Punktmenge \(P\) ist; dann erscheint die Functionsbeziehung als eine Abbildung zweier Punktmengen. Der Satz von der gleichmässigen Stetigkeit gilt auch noch, so oft die Punktmenge \(P\) abgeschlossen ist. Ist \(P\) perfect, und bezeichnet \(U\) eine in \(P\) überall dichte Teilmenge von \(P\), so kann man eine für die Punkte \(u\) von \(U\) gegebene Function \(F(u)\) zu einer für die Punkte \(p\) von \(P\) definirten Function \(F(p)\) dadurch ``erweitern'', dass man, wenn \(p\) Grenzpunkt einer Folge \(u_1\), \(u_2\), ... ist, für \(F(p)\) den Grenzwert von \(F(u_1)\), \(F(u_2)\), ... nimmt; \(F(p)\) ist stets und nur dann in \(P\) stetig, wenn \(F(u)\) in \(U\) gleichmässig stetig ist. Die Peano-Hilbert'sche Abbildung eines Quadrats auf eine Strecke bietet ein Beispiel für diesen ``Erweiterungsprocess'' dar. Kap. 2. Die punktweise unstetigen Functionen. --- Man kann als Mittelpunkt für die Theorie dieser Functionen den Satz bezeichnen, nach welchem aus einer punktweise unstetigen Function alle ``unwesentlichen Unstetigkeiten'' durch Subtraction einer sogenannten ``Nullfunction'' entfernt werden können. Kap. 3. Die Ableitungen der monotonen Functionen. --- Die allgemeine Aufgabe, um welche es sich hier handelt, ist die, eine monotone Function zu bilden, deren (im du Bois-Reymond'schen Sinn aufgefasste) Ableitungen bestimmte Stetigkeitseigenschaften aufweisen. Kap. 4. Die unendlich oft oscillirenden und die streckenweise constanten, resp. linearen Functionen. --- Man muss die eigentlichen von den uneigentlichen Extremen unterscheiden. Die eigentlichen Extreme einer nirgends constanten Function bilden eine endliche oder abzählbare Menge. Was die Functionen mit einer überall dichten Menge uneigentlicher Extreme, d. i. die überall oscillirenden Functionen betrifft, so ergiebt sich die merkwürdige Thatsache, dass eine solche Function in jedem Punkte eine eigentliche Tangente haben kann. Die streckenweise constanten Functionen reduciren sich unter bestimmten Bedingungen auf Constanten; jedenfalls dürfen sie, sobald sie monoton sind, aus punktweise unstetigen, mit Sprüngen behafteten Functionen durch Umkehrung entstehen. Aus den streckenweise constanten Functionen werden die streckenweise linearen Functionen durch Integration erhalten; man kann aber ihre Existenz auch unabhängig vom Integralbegriff nachweisen. Kap. 5. Das bestimmte Integral. --- Integrirharkeitsbedingung, uneigentliche Integrale, mehrfache Integrale und deren Zurückführung auf mehrmalige Integrale, bedingt convergente Doppelintegrale. Kap. 6. Der Fundamentalsatz der Integralrechnung. --- Der Verf. bezeichnet damit den Satz von der Reciprocität zwischen Differentiation und Integration. Die Ausnahmen, welche dieser Satz erleidet, und die Bedingungen, unter welchen er besteht, werden hier erörtert. Kap. 7. Die Convergenz der Reihen und die Functionenfolgen. --- Das Princip der Verdichtung der Singularitäten bietet ein Mittel dazu dar, mit einer überall dichten Menge von Unstetigkeitspunkten behaftete Functionen durch Reihen von Functionen darzustellen, deren jede eine einzige Singularität aufweist. Man kann umgekehrt fragen, welchen Einfluss die Stetigkeit oder Unstetigkeit der Glieder einer Reihe auf die Summe derselben hat. Es ergiebt sich in dieser Hinsicht, dass eine convergente Reihe stetiger Functionen eine stetige oder punktweise unstetige Function, eine gleichmässig convergente Reibe stetiger, resp. punktweise unstetiger Functionen eine stetige, resp. punktweise unstetige Function darstellt. Ist aber die Summe eine stetige Function, so ist die Reihe, deren Glieder ebenfalls stetige Functionen sein mögen, nicht notwendig gleichmässig convergent; und es bietet sich die Frage dar, die Verteilung der Punkte ungleichmässiger Convergenz zu untersuchen. Die betreffenden Resultate werden auf die Theorie der gliedweisen Integration der Reihen angewandt. Das Problem, eine unstetige Function durch stetige Functionen darzustellen, ist kürzlich von Baire behandelt worden. und hat ihn zu einer Einteilung der Functionen in Klassen geführt, von denen die erste (Kl. 0) die stetigen Functionen, die zweite (Kl. 1) die durch Folgen stetiger Functionen darstellbaren unstetigen Functionen, die dritte (Kl. 2) die durch Folgen von Functionen der Klassen 0,1 darstellbaren Functionen umfasst. Es bleibt nur noch übrig, die Punkte zu untersuchen, in welchen eine Functionenreihe nicht convergirt; eine Frage, welche ihre Anwendung in der Theorie der Fourier'schen Reihen findet.