Supplement to the memoir on the series of polynomials and rational functions. (Q1510619)

Die erste Arbeit (siehe JFM 32.0414.01) bildet eine ausführliche Darstellung und Zusammenfassung von Untersuchungen des Verf., über welche er bereits früher in seiner Thèse, in seinen Leçons und in mehreren Noten der C. R. Mitteilungen gemacht hat. Auch sind diese Untersuchungen in den letzten Bänden der F. d. M. ausführlich besprochen worden; vgl. besonders F. d. M. 31, 411, 1900 (siehe JFM 31.0411.01, siehe auch JFM 26.0429.03 und JFM 29.0336.01). Es kann deshalb hier über den Gegenstand sehr kurz berichtet werden. Im ersten der drei Teile werden die allgemeinen Reihen betrachtet, die nach rationalen Brüchen fortschreiten, und zwar sucht der Verf. durch Verwendung der bereits in seiner Thèse benutzten Methoden möglichst allgemeine Resultate zu gewinnen. Im zweiten Teile werden die \textit{Mittag-Leffler}schen Entwicklungen nach Polynomen hinsichtlich ihrer Konvergenz untersucht, und zwar hauptsächlich zu dem Zweck, um mit Hülfe diesen Polynomreihen neue Eigenschaften der nach gebrochenen rationalen Funktionen fortschreitenden Reihen zu erhalten. Der dritte Teil deutet an, wie die gewonnenen Resultate naturgemäß\ auf den Gedanken einer Verallgemeinerung der Theorie der analytischen Fortsetzung führen, und der Verf. deutet diese neue Theorie in ihren Hauptzügen an, wobei sich Ausblicke auf weitere Untersuchungen eröffnen. In der ``Addition'' zeigt Verf., daß\ die absolute Konvergenz der Polynomreihen, auf welche sich die Beweise des zweiten und dritten Teiles der ersten Arbeit gründen, nicht unumgänglich ist, und er führt für den einfachsten Fall aus, daß\ man mit der gleichförmigen Konvergenz der Polynomreihen auskommt, die Durchführung für die verwickelteren Fälle dem Leser überlassend.