Über die hyperbolischen Funktionen höherer Ordnung und deren Degenerationen. (Q1510674)

Die Arbeit behandelt die Eigenschaften der von \textit{Pochhammer, Goursat} u. a. untersuchten, der Differentialgleichung \[ (1) \quad x^{n-1} (x-1)\;\frac{d^2 y}{dx^n} + x^{n-2} (a_1 x -r_1)\;\frac{d^{n-1} y}{dx^{r-1}} + \cdots + (a_{n-1} x - r_{n-1}) \frac{dy}{dx} + a_n y =0 \] genügenden Reihen. Es werden die Fundamentalsysteme der Integrale dieser Gleichung in der Umgebung von \(x=0\) und \(x= \infty\) aufgestellt, und die zum Wege \((0\; \infty)\) gehörigen Übergangssubstitutionen derselben bestimmt. Für die aus (1) durch Einsetzen von \(x= \frac{\xi}{\alpha^n}\), \(| \alpha^n | = \infty\) entstehende Differentialgleichung \[ (2) \quad \xi^{n-1}\;\frac{d^n y}{d \xi^n} + \xi^{n-2} (r_1 - \xi)\;\frac{d^{n-1} y}{dx^{n-1}} + \cdots + (r_{n-1} - a_{n-1}' \xi) \frac{dy}{d \xi} - a_n' y =0 \] werden die Elemente der Integrale derselben in der Umgebung von \(\xi =0\) und die zum Punkte \(\xi = \infty\) gehörigen \(n\) asymptotischen Reihen gefunden. Für die aus (1) durch Einsetzen von \(x= \varrho_n \xi\), \(| \varrho_n | = \infty\) entstehende Differentialgleichung \[ (3) \quad \xi^n\;\frac{d^n y}{d\xi^n} + \xi^{n-2} (a_1 \xi -1)\;\frac{d^{n-1} y}{d \xi^{n-1}} + \cdots + (a_{n-1} \xi - r_{n-2}')\;\frac{dy}{d \xi} + a_n y =0 \] werden das zum Punkte \(\xi = \infty\) gehörige Fundamentalsystem der Integrale derselben und die zum Punkte \(\xi =0\) gehörigen asymptotischen Reihen aufgestellt. Es wird bewiesen, daß\ die genannten, zu den Punkten der Unbestimmtheit der Differentialgleichungen (2) und (3) gehörigen asymptotischen Reihen sich mittels der Übergangssubstitutionen durch konvergente Reihen darstellen lassen und zur Definition analytischer Funktionen benutzt werden können (vergl. das vorangehende Referat, siehe JFM 32.0444.02).