Neue Ableitung der Kugelfunktionen. (Q1510721)

Die Funktion \[ V= C(\alpha x + \beta y + \gamma z)^n \] stellt, falls \(\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 =0\) ist, eine homogene Funktion \(n\)-ter Ordnung dar, die der Gleichung \(\varDelta V=0\) genügt. Setzt man \(\gamma\) heraus und abstrahiert von dem konstanten Faktor \(C\gamma^n\), so wird \[ V= (ix \cos \lambda +iy \sin \lambda + z)^n. \] Entwickelt man nach Sinus und Cosinus der Vielfachen von \(\lambda\), \[ V= \sum_0^n (A_k \cos (k\lambda) + B_k \sin (k\lambda)), \] so ist jeder der Koeffizienten eine ganze homogene Funktion von \(x,y,z\), die für sich der Gleichung \(\varDelta A=0\), resp. \(\varDelta B=0\) genügt. Um die Funktionen \(A,B\) auf einfachste Weise darzustellen, setze man \[ (ix+y) e^{\lambda i} =u,\;(ix-y) e^{-\lambda i} =v,\;x^2 + y^2 + z^2 = r^2, \] so daß\ \[ V= \frac {1}{2^n}\;u^{-n} [(u+z)^2 - r^2]^n = \frac{1}{2^n}\;v^{-n} [(v+z)^2 - r^2]^n \] wird, und entwickelte nach Potenzen von \(u\), resp. \(v\). Ersetzt man in der zweiten Reihe \(v\) durch seinen Wert \(-\frac 1u (x^2 + y^2)\) und vergleicht beide Entwicklungen, so folgt \[ V= a_0 + \sum_{s=1}^n a_s[(ix + y)^s + (ix -y)^s] \cos (s\lambda) +i \sum_{s=1}^n a_s [(ix +y)^s - (ix -y)^s] \sin (s\lambda), \] und darin ist \[ a_s = \frac{1}{2^n}\;\frac{1}{(n+s)!}\;\frac{d^{n+s} (z^2 - r^2)^n}{dz^{n+s}}, \] wo bei der Differentiation \(r\) als konstant anzusehen ist. Nebenbei ergibt sich die bekannte \textit{Jacobi}sche Formel. Nunmehr erhält man die Kugelfunktionen \(n\)-ter Ordnung, wenn man \(x,y,z\) durch Polarkoordinaten ausdrückt und \(r=1\) setzt.