Évalution nouvelle des intégrales indéfinies et des séries infinies contenant une fonction cylindrique. (Q1510734)

Nachdem der Verf. anknüpfend an eine seiner früheren Arbeiten (cf. F. d. M. 31, 462, 1900, JFM 31.0462.04), einige Fundamentaleigenschaften der Zylinderfunktionen rekapituliert hat, wobei auch die Ableitung der allgemeinen Zylinderfunktionen \(C^\mu (x)\) nach dem Parameter \(\mu\) betrachtet wird, untersucht er die durch folgenden beiden Rekursionsformeln \[ \begin{aligned} & (1) \qquad B^{\mu-1} (x) - B^{\mu +1} (x) - 2D_x B^\mu (x) = \frac 2x f^\mu (x),\\ & (2) \qquad B^{\mu -1} (x) + B^{\mu +1} (x) - \frac{2\mu}{x} B^\mu (x) = \frac 2x g^\mu (x)\end{aligned} \] definierten Funktionen, die eine Verallgemeinerung der Zylinderfunktionen darstellen und für \(f^\mu (x) = g^\mu (x) =0\) in letztere übergehen. Die Funktion \(B^\mu (x)\) genügt der Differentialgleichung \[ (5) \qquad y'' + \tfrac 1x\, y' + \left( 1- \frac{\mu^2}{x^2} \right) y = \tfrac 1x\, \omega^\mu (x), \] wobei \[ \begin{multlined} \omega^\mu (x) = \frac{\mu}{x} [f^\mu (x) + g^\mu (x)] - D_x [f^\mu (x) + g^\mu (x)] - [f^{\mu -1} (x) - g^{\mu -1} (x)] \\ =- \frac{\mu}{x} [f^{(\mu)} (x) - g^{(\mu)} (x)] - D_x [f^\mu (x) - g^\mu (x)] + f^{\mu +1} (x) + g^{\mu +1} (x) \end{multlined} \] ist. Die Gleichheit der beiden Ausdrücke für \(\omega^\mu (x)\) ist die einzige Bedingung, der die Funktionen \(f^\mu, g^\mu\) die im übrigen beliebig gegeben sein können, unterworfen sind. Die allgemeine Lösung von (5) läßt sich in der Form darstellen: \[ y= {\mathfrak B}^\mu (x) + p(\mu) J^\mu (x) + q(\mu) Y^\mu (x), \] wo \[ {\mathfrak B}^\mu (x) = C^\mu (x) \int \omega^\mu (x) J^\mu (x) dx - J^\mu (x) \int \omega^\mu (x) C^\mu (x) dx. \] \(C^\mu (x)\) ist hierin \(=Y^\mu (x)\) oder \(=- \frac{\pi}{2\sin (\mu \pi)}\, J^{-\mu} (x)\), je nachdem \(\mu\) eine ganze Zahl ist oder nicht. Umgekehrt läßt sich zeigen, daß\ falls \(\omega^\mu (x)\) gegeben ist, irgend eine Lösung von (5) den Rekursionsformeln (1), (2) genügt, falls nur die Funktionen \[ \tfrac 1x [f^{\mu +1} (x) + g^{\mu +1} (x)] \text{ und } \tfrac 1x [f^{\mu -1}(x) - g^{\mu -1} (x)] \] zwei Differentialgleichungen von der Form (5) genügen, in denen nur \(\omega^\mu (x)\) ersetzt ist durch gewisse andere, aus \(f^\mu (x) + g^\mu (x)\) und \(f^\mu (x) - g^\mu (x)\) gebildete Funktionen. Weiter werden verschiedene die Funktion \(B^\mu (x)\) enthaltende Formeln abgeleitet und dann Anwendungen dieser Funktion gegeben. Von letzteren sei hier folgende erwähnt. Bezeichnet \(C^\mu (x)\) eine beliebige Zylinderfunktion, so ist \[ \int \omega^\mu (x) C^\mu (x)dx = x[C^\mu (x) B^{\mu -1} (x) - C^{\mu -1} (x) B^\mu (x)] - C^\mu (x) [f^\mu (x) + g^\mu (x)]. \] Aus dieser Formel lassen sich, wenn man der Funktion \(\omega^\mu (x)\) spezielle Werte beilegt, mehrere bekannte Formeln ableiten. Eingehend werden dann folgende Fälle untersucht: \(\omega^\mu (x) = x^\nu\); \(\omega^\mu (x) = x^\nu e^{-ix}\); \(\omega^\mu (x) = x^\nu C_1^\varrho (x)\), wo \(C_1^\varrho\) wieder eine beliebige Zylinderfunktion bezeichnet. Hinsichtlich der hier gewonnen Einzelresultate muß\ auf die Arbeit selbst verwiesen werden. Es mag nur noch bemerkt werden, daß\ die Betrachtung dieser speziellen Fälle von selbst auf den bekannten Ausdruck der Zylinderfunktionen zweiter Art \(Y^n(x)\) durch die Funktionen \(S^n(x)\), \(T^n(x)\), \(U^n(x)\) führt, daß\ sich dabei ferner mehrere bisher noch nicht betrachtete, den Zylinderfunktionen zweiter Art analoge Funktionen ergeben. Die Einführung der Funktion \(B^\mu(x)\) gibt auch ein Mittel, um das vorstehende Integral \(\int \omega^\mu (x) C^\mu (x) dx\) in eine nach Zylinderfunktionen fortschreitende Reihe zu entwickeln, und daraus folgen wiederum verschiedene bekannte Reihen. Der zweite Teil der umfangreichen Arbeit ist der Entwickelung einer \textit{Laurent}schen Reihe in eine nach Zylinderfunktionen fortschreitende Reihe gewidmet. Die im ersten Teil abgeleiteten Ausdrücke einer Potenz von \(x\) durch eine Reihe von Zylinderfunktionen führen auf folgende Darstellung: \[ \sum_{s=- \infty}^{+\infty} b_s x^s = \left( \frac 2x \right)^\mu \sum_{n=- \infty}^{+\infty} a_n J^{\mu +n} (x). \] Die rechts stehende Reihe, in der \(\mu\) einen konstanten endlichen Parameter bezeichnet, der keine ganze Zahl sein darf, konvergiert in demselben Teil der Ebene wie die gegebene \textit{Laurent}sche Reihe. Die Koeffizienten der Reihe werden für positive \(n\) und für \(n=0\) durch die Gleichung \[ a_n = (\mu +n) \sum_{s=0}^{\leqq \frac n2} \;\frac{\varGamma (\mu + n-s)}{s!}\;2^{n-2s} b_{n-2s}, \] für negative \(n\) durch die Gleichung \[ a_{-n} = \frac{(-1)^n (\mu +n) \pi}{\sin (\mu \pi)} \sum_{s\leqq \frac{n+1}{2}}^\infty \frac{(-1)s}{s! \varGamma (s-n+1 -\mu)}\;\frac{b_{-s}}{2^{2s-p}} \] bestimmt. Die Anwendung dieser Formel auf die Entwicklung von \(1/ (y-x)\), resp. \(x/(y-x)\) gibt sofort die bekannten Funktionen \(O^n (y)\), \(S^n(y)\), die Entwicklung von \[ e^{-i(y-x)} /(y-x), \text{ resp. } xe^{-i(y-x)} /(y-x) \] zwei neue analoge Funktionen. Weiter wird die Funktion \(\left( \frac{2}{\alpha x} \right)^\nu J^\nu (\alpha x)\) in eine Reihe der Form \[ \left( \frac 2x \right)^\mu \sum_{s=0}^\infty (\mu + 2s) a_{2s} J^{\mu + 2s} (x) \] entwickelt, die für spezielle Werte von \(\nu\) einige bemerkenswerte neue Formeln ergibt. Wir erwähnten die für \(\nu =- \frac 12\) entstehende Gleichung \[ \cos (\alpha x) = \frac{\varGamma (\mu)}{\left( \frac x2 \right)^\mu}\;\sum_{s=0}^\infty\;(-1)^s (\mu + 2s) K^{\mu, 2s} (\alpha) J^{\mu +2s} (x), \] worin \(K^{\mu, s} (\alpha)\) den Koeffizienten von \(x^3\) in der Entwicklung von \[ (1- 2 \alpha x + x^2)^{-\mu} \] nach stetigenden Potenzen von \(x\) bezeichnet. Auch die Eigenschaften der Koeffizienten der Entwicklung einer beliebigen Funktion \(f(y-x)\) in eine nach den Zylinderfunktionen \(J^{\mu +n} (x)\) (\(\mu\) konstant) fortschreitende Reihe werden untersucht. Dabei ergeben sich die Bedingungen dafür, daß\ eine Funktion \(F^\nu (x)\) ein Additionstheorem der Form \[ F^\nu (y+x) = \sum_{s=- \infty}^{+\infty} F^{\nu +s} (y) J^{-s} (x) \] hat. Die Untersuchung wird auf Funktionen eines komplexen Arguments \(f(x+iy)\) ausgedehnt, und zum Schluß\ wird die Gleichung \[ (R^2 - 2Rr\cos \varphi + r^2)^{-\frac 12 \mu} C^\mu (\sqrt{R+r^2 - 2Rr \cos \varphi)} = \frac{2^\mu \varGamma (\mu)}{R^\mu r^\mu}\;\sum_{s=0}^\infty\, (\mu +s) J^{\mu +s} (r) C^{\mu +s} (R) K^{\mu, s} (\cos \varphi), \] in der \(C^\mu\) eine beliebige Zylinderfunktion bezeichnet, hergeleitet und spezialisiert.