Sur une classe de séries infinies analogues à celles de \textit{Schlömilch} selon les fonctions cylindriques. (Q1510735)

Im Jahre 1899 (cf. F. d. M. 30, 375 und 419, 1899, siehe JFM 30.0375.01 und JFM 30.0419.01) hatte der Verf. Reihen aufgestellt, die nach Zylinderfunktionen oder nach Produkten von solchen fortschreiten und innerhalb eines gewissen Bereichs der Variabeln überall den Wert Null besitzen. In der vorliegenden Arbeit behandelt er diese Reihen aufs neue und ermittelt ihre Summen außerhalb des Intervalls, in dem sie verschwinden. Er kommt dabei zu dem bemerkenswerten Resultat, daß\ die Summe einer gewissen, nach Produkten von Zylinderfunktionen fortschreitenden Reihe sich in endlicher Form mittels voller elliptischer Integrale, resp. für nicht ganzzahlige Parameter mittels hyperelliptischer Integrale darstellen läßt. Außerdem zeigt er, daß\ man auch mit anderen Funktionen, die allgemeiner als die Zylinderfunktionen sind, Reihen bilden kann, die im allgemeinen diskontinuierliche Funktionen darstellen, und deren Summe innerhalb eines gewissen Intervalls, des Invariabilitätsbereiches, den Wert Null oder einen anderen konstanten Wert besitzt. Solche Reihen gewinnt der Verf zunächst durch Betrachtung der Integrale \[ F(x)= \int_0^a \cos (\xi x) f(\xi) d\xi, \quad {\mathfrak F} (x) = \int_0^a \sin (\xi x) f(\xi) d\xi, \] in denen \(x\) eine komplexe, \(\xi\) eine reelle Variable bezeichnet, \(f\) eine beliebige, auch komplexe Funktion. Summiert man in der Reihe \[ \sum_{s=1}^n (-1)^{s-1} F(sx) \] die Kosinus, so erhält man als Summe \[ \tfrac 12 F(0) - \frac{(-1)^n}{2x} \int_0^{ax} \frac{\cos \left( \frac{2n+1}{2} \xi \right)}{\cos (\frac 12 \xi)}\;f \left( \frac{\xi}{x} \right) d\xi. \] Geht man zu \(n= \infty\) über, so verschwindet das Integral, falls \(| ax |\) zwischen 0 und \(\pi\) liegt. Für andere Intervalle dagegen hat das Integral einen anderen Grenzwert, so daß\ \[ \sum_{s=1}^\infty (-1)^{s-1} F(sx) = \tfrac 12 F(0) - \frac{\pi}{| x|}\;\sum_{p=1}^q\;f\left( \frac{(2p-1) \pi}{| x|} \right) \] wird, falls \[ (2q-1) \pi \leqq | ax| < (2q+1) \pi. \] Ebenso ist \[ \sum_{s=1}^\infty (-1)^s {\mathfrak F} ((2s+1)x) = \frac{\pi}{2x} \sum_{p=1}^q (-1)^{p-1} f\left( \frac{(2p-1) \pi}{| x|} \right), \] falls \[ (2q-1) \pi \leqq | 2ax | <(2q+1)\pi. \] Für \(q=0\) verschwindet in beiden Fällen die Summe, so daß\ die betreffenden Intervalle Invariabilitätsbereiche sind. Neben den vorstehenden werden noch einige andere analoge Reihen aufgestellt. Weitere derartige Reihen ergeben sich durch Betrachtung des Doppelintegrals \[ G(x) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos (x\cos \omega \sin \varphi) f(\omega, x) d\varphi d\omega, \] sowie desjenigen, in dem \(\sin(x \cos \omega \sin \varphi)\)an Stelle von \(\cos(x \cos \omega \sin \varphi)\) steht. Hier wird \[ \sum_{s=1}^\infty (-1)^{s-1} G(sx) = \tfrac 12 G(0) - \frac{\pi}{| x|}\;\sum_{p=0}^{p=q}\;\int_0^1 \frac{\varphi (k_p, z) dz}{\sqrt{(1-z^2) (1-k_p^2 z^2)}}\,, \] falls \[ (2q-1) \pi \leqq | x| <(2q+1) \pi; \] und dabei ist \[ \varphi (\lambda, z) =f \left( \arcsin \lambda z,\;\arcsin \sqrt{\frac{1- \lambda^2}{1- \lambda^2 z^2}} \right), \quad k_p = \sqrt{1- \frac{(2p-1)^2 \pi^2}{x^2}} \,. \] Da die Funktion \[ \prod{^{\mu, \nu}} (x) = \cos \tfrac{\pi}{2} (\mu -\nu) \sum_{s=0}^\infty \frac{(-1)^s \left( \frac x2 \right)^{\nu +2s}}{\varGamma \left( \frac{\nu + \mu}{2} +s+1\right) \varGamma \left( \frac{\nu -\mu}{2} +s+1 \right)} \] sich durch ein Doppelintegral von der Form \(G(x)\) darstellt läßt, in dem \(f(\omega, \varphi) = (\cos \varphi)^{\nu \pm \mu} (\sin \omega)^{\nu \pm \mu -1} \cos \omega\) ist, multipliziert mit einer gewissen Konstante, so kann man die Reihe \[ \sum_{s=1}^\infty\;\frac{(-1)^{s-1} \prod{^{\mu, \nu}} (sx)}{\left( \frac{sx}{2} \right)^\nu} \] und einige ähnliche summieren. Setzt man \(\nu = \mu -2n\), wo \(n\) eine ganze, nicht negative Zahl ist, so erhält man u. a.: \[ \sum_{s=1}^\infty\;\frac{(-1)^{s-1} J^\mu (sx)}{\left( \frac{sx}{2} \right)^{\mu -2n}} = E_n-\frac{(-1)^n \cdot 2\sqrt{\pi}}{\varGamma (\mu -2n + \frac 12) | x|}\;\sum_{p=1}^q\;k_p^{2\mu -4n -1} F(\mu -n, -n, \mu-2n + \tfrac 12, k_p^2). \] Darin bezeichnet \(F\) die hypergeometrische Reihe, \(E_n\) ist \(=0\) für \(n>0\) \(E_0 = 1:2 \varGamma (\mu +1)\). Schließlich lassen sich auch die Produkte \(J^{n+ \frac{\mu}{2}} (x) J^{n- \frac{\mu}{2}} (x)\) und \(J^{n+ \frac{1+\mu}{2}} (x) J^{n+ \frac{1-\mu}{2}} (x)\) durch Doppelintegrale von der Form \(G(x)\) darstellen, und daraus ergibt sich \[ \sum_{s=1}^\infty (-1)^{s-1} J^{n+ \frac{\mu}{2}} (sx) J^{n- \frac{\mu}{2}} (sx) = \frac{\sin n\pi \sin \frac{\mu \pi}{2}}{n\mu \pi^2} - \frac{2}{\pi | x|} \cdot \sum_{p=1}^q \int_0^1 \frac{\varphi_{2n} (k_p, z) dz}{\sqrt{(1-z^2) (1-k_p^2 z^2)}} \] falls \[ (2q-1) \pi \leqq | 2x| <(2q+1) \pi. \] Darin ist \[ k_p = \sqrt{1- \frac{(2p-1)^2 \pi^2}{4x^2}}\,, \] \[ \varphi_{2n} (\lambda, z) = \cos( \mu \arcsin \lambda z) \cos \left( 2n \arcsin \sqrt{\frac{1- \lambda^2}{1- \lambda^2 z^2}} \right); \] und im Intervall \(-\frac{\pi}{2} <x< +\frac{\pi}{2}\) hat die Reihe für alle \(x\) den Wert Null, falls \(n>0\). Die hier auftretenden Integrale werden, wenn \(\mu\) eine ganze Zahl ist, volle elliptische Integrale, während für den Fall, daß\ \(\mu\) ein irreduzibler Bruch ist, die Summe der Reihe eine lineare Funktion einer endlichen Anzahl von hyperelliptischen Integralen wird. Ein analoges Resultat gilt für die Reihen, die man erhält, wenn man auf der linken Seite der letzten Gleichung \(n+ \frac 12\) an Stelle von \(n\) setzt. Wir haben im Vorstehenden nur einige der wichtigsten Resultate, zu denen die Arbeit gelangt, angeführt. Noch weitere Formeln mitzuteilen, würde zu weit führen. Wir müssen hinsichtlich derselben auf die Arbeit selbst verweisen.