Sur une classe de polynômes qui se présentent dans la théorie des fonctions cylindriques (Deuxième partie). (Q1510736)

Der Aufsatz betrifft die in der Theorie der Zylinderfunktionen auftretende Funktion \(R^{\mu, \nu}(x)\), die auch schon in früheren Arbeiten des Verf. eine wichtige Rolle spielte (vgl. F. d. M. 31, 462, 1900, JFM 31.0462.04). Es wird zuerst gezeigt, wie man, von der \textit{Lommel}schen Rekursionsformel für \(R\) ausgehend, auf die lineare Differentialgleichung vierter Ordnung gelangt, der \(R\) nach \textit{Hurwitz} genügt. Ferner werden zwei neue Rekursionsformeln für \(R\) aufgestellt. Eine derselben ist einer Gleichung für die Zylinderfunktionen ganz analog und lautet: \[ \frac{R^{\mu, m} (x)}{r!} = \sum_{s=0}^r \;\frac{(-1)^{r-s}}{(r-s)!}\;\begin{pmatrix} \mu +m -r-s \\ s \end{pmatrix} \left( \frac 2x \right)^s R^{\mu, m-2r+s} (x). \] Die Funktion \(R^{\mu, m}\) tritt auch bei der Lösung der Differenzengleichung \[ G^{n-1} (x) + G^{n+1} (x) = \frac{2n}{x}\;G^n (x) + \tfrac 2x\, g^n (x) \] auf, in der \(g^n(x)\) eine gegebene Funktion bezeichnet. Die Lösung dieser Gleichung ist: \[ G^n(x) = R^{0, n-1} G^1(x) - R^{1, n-2} (x) G^0 (x) + \tfrac 2x\, \sum_{p=0}^{n-2}\;g^{p+1} (x) R^{p+1, n-p-2} (x). \] Legt man hier den Funktionen \(g^n\), \(G^0\), \(G^1\) spezielle Werte bei, so erhält man die \textit{Schläfli}sche Funktion \(S^n(x)\) und damit auch die \textit{Neumann}sche Funktion \(O^n(x)\) durch die \(R\) ausgedrückt. Setzt man in obiger Differentialgleichung \(g^n =0\), so wird eine Lösung derselben \(R^{k, n-k-1} (x)\). Zum Schluß\ werden noch einige weitere Formeln für die Funktionen \(G^n(x)\), sowie für \(O^n(x)\) und \(S^n(x)\) aufgestellt.