Eine Aufgabe, betreffend den Schwerpunkt der Polygone. (Q1510814)

Jedes einfache ebene \(n\)-Eck \(abc \dots n\), konvex oder nicht konvex, aufgefaßt als eine aus gleichen Massenteilchen zusammengesetzte Fläche, besitzt bei gehöriger Berücksichtigung ihres Erzeugungssinnes einen bestimmten Schwerpunkt \(\tau\); denkt man sich die Masse des \(n\)-Ecks zu gleichen Teilen in seine Eckpunkte verteilt, so kann man nach dem Schwerpunkte \(s\) dieses Systems von \(n\) Punkten fragen. Beim Dreiecke stimmen beide Punkte überein, sonst aber im allgemeinen nicht. Diese Arbeit löst nun die Frage: Wie ist zu den gegebenen \(n-1\) aufeinander folgenden Ecken eines einfachen ebenen \(n\)-Ecks die \(n\)-te Ecke zu konstruieren, damit dessen Schwerpunkt mit dem Schwerpunkte des entsprechenden \(n\)-Punktesystemes zusammenfalle? Die Antwort ist: Es gibt zwei Punkte, welche diese Aufgabe lösen. Es sind dies die im Endlichen gelegenen Schnittpunkte einer gewissen gleichseitigen Hyperbel \(K\) mit zwei Geraden \(M\) und \(N\). Ist \(a\) die erste, \(u\) die letzte der gegebenen Ecken, so ist die Gerade \(\overline{au}\) der einen Asymptote von \(K\) parallel, und es ist jede der beiden Linien \(M\) und \(N\) dieser selben Asymptote parallel. Die Koordinatenachsen sind so gewählt, daß\ \(a\) Koordinatenanfang und die \(X\)-Achse senkrecht zur Geraden \(\overline{au}\) wird. \(K\) ist dann eine gleichseitige Hyperbel, deren Asymptoten zu den Koordinatenachsen parallel sind. Die Gleichung der Hyperbel wird aufgestellt und von den Geraden \(M\) und \(N\) das Nötige angegeben.