Evoluten als Konturkurven windschiefer Flächen. (Q1510881)

Von einer windschiefen Regelfläche sind zwei Leitlinien \(C_1, C_2\) gegeben. Als dritte wird eine Kurve \(C\) in der \(xy\)-Ebene eines rechtwinkligen Koordinatensystems so bestimmt, daß\ sich die Erzeugenden der Fläche auf die \(xy\)-Ebene als Normalen von \(C\) projizieren. Der Kontur der Fläche in der \(xy\)-Ebene ist dann identisch mit der Evolute von \(C\). Sind \(T, P_1^*, P_2^*\) die Schnittpunkte einer Erzeugenden \(\varepsilon\) mit \(C, C_1, C_2\), ferner \(t, t_1, t_2\) die Kurventangenten in diesen Punkten, und bedeutet \(n\) die Normale von \(C\) in \(T\) (Projektion von \(\varepsilon\)), \(N\) den zugehörigen Krümmungsmittelpunkt und \(N^*\) denjenigen Punkt von \(\varepsilon\), der sich nach \(N\) projiziert, so besteht die Gleichheit der Doppelverhältnisse: \[ (TP_1^* P_2^* N^*) = \varepsilon (tt_1 t_2 n). \] Hieraus kann eine Konstruktion des Krümmungsmittelpunkts \(N\) der Kurve \(C\) abgeleitet werden. Als Leitlinien \(C_1, C_2\) werden gerade Linien, Kegelschnitte, höhere Parabeln und Hyperbeln gewählt, weiterhin statt Leitkurven auch zylindrische Leitflächen benutzt. Eine fernere Verallgemeinerung erfährt das Problem dadurch, daß\ die Kurve \(C\) in der \(xy\)-Ebene nicht selbst die dritte Leitkurve bildet, sondern daß\ als solche eine Kurve \(C^*\) auf einer passend gewählten Fläche gewählt wird, und daß\ sich \(C^*\) auf die \(xy\)-Ebene als Kurve \(C\) projiziert. Mittels dieses fruchtbaren Prinzips wird eine Fülle von -- zum größten Teil neuen -- interessanten Sätzen und praktischen Konstruktionen über die Krümmungsmittelpunkte von Kegelschnitten, höheren Parabeln und Hyperbeln, Kegelschnittevoluten, Exponentialkurven, Cassinischen Kurven u. s. w. abgeleitet, ohne daß\ damit die vom Verf. aufgeschlossene Quelle als erschöpft gelten dürfte.