On the definition of the concept of length for curves (Q1510963)

Der Verf. will die gewöhnliche Definition der Länge einer Kurve durch eine andere ersetzen, welche sich nicht, wie jene, auf einen unendlichen Prozeß\ gründet. Dazu sind einige Vorbemerkungen nötig. Eine ganz im Endlichen liegende perfekte Punktmenge \(\beta\) möge eine ``Abbildung'' einer anderen ebensolchen Menge \(\alpha\) heißen, wenn die Punkte von \(\beta\) den Punkten von \(\alpha\) eindeutig, stetig und umkehrbar zugeordnet sind; hieraus folgt, wie \textit{Jordan} bewiesen hat, daß\ auch die Punkte von \(\alpha\) den Punkten von \(\beta\) eindeutig, stetig und umkehrbar zugeordnet sind, so daß\ \(\alpha\) wiederum als eine Abbildung von \(\beta\) angesehen werden kann. Die Abbildung von \(\alpha\) auf \(\beta\) heißt ``asphinktisch'', wenn \(\beta\) kein Punktpaar enthält, dessen Entfernung kleiner ist als die Entfernung des entsprechenden Punktpaares in \(\alpha\). Es wird ferner nach \textit{Study} (Über eine besondere Klasse von Funktionen einer Veränderlichen, Math. Ann. 47, 298-316; F. d. M. 27, 306, 1896, JFM 27.0306.01) als ``einfaches Kurvenstück'' eine ganz im Endlichen liegende perfekte Punktmenge bezeichnet, welche sich auf die Gesamtheit der Punkte eines endlichen kontinuierlichen Geradenstücks einschließlich seiner beiden Endpunkte abbilden läßt. Wird ein einfaches Kurvenstück \(L\) auf eine Strecke \(l\) abgebildet, und entsprechen den Punkten \(A\), \(B\), \(C\) von \(L\) die Punkte \(a\), \(b\), \(c\) von \(l\), so sagt man, \(B\) liege zwischen \(A\) und \(C\), wenn \(b\) zwischen \(a\) und \(c\) liegt. Die den Endpunkten von \(l\) entsprechenden Punkte von \(L\) heißen die Endpunkte des Kurvenstückes. Dies alles vorausgeschickt, definiert der Verf. die Rektifikation eines einfachen Kurvenstückes als diejenige asphinktische Abbildung desselben auf eine Strecke, die durch die Punkte, welche den Endpunkten der Kurve entsprechen sollen, eindeutig bestimmt ist, oder auch, was dasselbe ist, als die asphinktische Abbildung des Kurvenstückes auf die kleinste Strecke, auf welche eine solche Abbildung des gegebenen Kurvenstückes überhaupt möglich ist. Als Länge des Kurvenstückes wird die Länge der entsprechenden Strecke angenommen. Es ergibt sich, daß\ diese Definition mit der üblichen der Sache nach übereinstimmt und zu demselben analytischen Ausdrucke der Bogenlänge führt.