Über eine neue Methode zum Beweise der sogenannten Schließungstheoreme. (Q1510988)

Man denke sich in der Ebene einen Kreis und einen Kegelschnitt; man konstruiere von einem Punkte \(A\) der Kreislinie an den Kegelschnitt eine Tangente, welche die Kreislinie zum zweitenmale in \(B\) schneiden möge, lege von \(B\) aus an den Kegelschnitt eine mit der ersten nicht zusammenfallende Tangente, welche den Kreis zum zweitenmal in \(C\) schneiden möge, und endlich von \(C\) aus eine dritte Kegelschnittstangente, welche den Kreis zum zweitenmale in \(D\) schneiden möge. Zunächst wird mit Hülfe ähnlicher Dreiecke gezeigt, daß, wenn bei der vorstehend beschriebenen Konstruktion \(D\) mit \(A\) zusammenfällt, diese Koinzidenz auch dann bestehen bleibt, wenn sich der Punkt \(A\) längs der Kreislinie um ein unendlich kleines Stück verschiebt. Damit ist das Schließungstheorem für Dreiecke -- und, wie man leicht sieht, auch für Vielecke -- bewiesen für den Fall, daß\ von den beiden Kegelschnitten einer ein Kreis ist; der allgemeinere Fall, daß\ die Kegelschnitte beliebig sind, wird auf den vorigen dadurch zurückgeführt, daß\ man den einen der Kegelschnitte durch Projektion in einen Kreis verwandelt. Der zuerst angedeutete Beweis wird noch durch topologische Betrachtungen präzisiert.