Einige auf die Ellipse sich beziehende Theoreme, in welchen die Sätze über konjungirte Durchmesser als Spezialfälle enthalten sind. (Q1511028)

Bei der Untersuchung eines zentralen Kegelschnitts \[ K \equiv x^2/a + y^2/b -1=0 \] kann man (was zuweilen nützlich ist) an Stelle der gewöhnlichen Maßbestimmung eine andere zugrunde legen, bei welcher die absoluten Kreispunkte durch die unendlich fernen Stellen von \(K\) ersetzt werden. Man wendet dann die Transformation an: \(\xi = x/a\), \(\eta =y/b\), wodurch die Ellipse \(K\) in den Kreis \(C\) übergeführt wird, dessen Gleichung \[ C \equiv \xi^2 + \eta^2 -1=0 \] ist. Bildet man die dem Kreise \(C\) eingeschriebenen regulären \(n\)-Ecke vermöge obiger Transformation auf die Ellipse \(K\) ab, so erhält man die \(K\) eingeschriebenen pseudoregulären \(n\)-Ecke, auch sonst halbreguläre Polygone genannt. Aus den bekannten Beziehungen an diesen pseudoregulären Polygonen gelangt man dann zu neuen Beziehungen an diesen pseudoregulären Figuren; das wird in dieser Arbeit näher ausgeführt. Endlich wird noch ein Satz am Kreise verallgemeinert, welcher lautet: Fällt man von einem beliebigen Punkte eines Kreises Lote auf die Seiten eines eingeschriebenen Dreiecks, so liegen die Fußpunkte dieser Lote auf derselben Geraden. Durch die obige Transformation kommt man dann zu dem Satz: Ist einer Ellipse \(K\) ein Dreieck \(m_1m_2m_3\) eingeschrieben, dessen Seiten \(\overline{m_1 m_2} \equiv l_3\), \(\overline{m_2 m_3} \equiv l_1\), \(\overline{m_3 m_1} \equiv l_2\) bezw. den Durchmessern \(D_3, D_1, D_2\) konjugiert sind, so schneiden die Geraden \(G_3, G_1, G_2\) welche durch einen beliebigen Punkt \(m\) auf \(K\) parallel zu den letztgenannten Durchmessern gelegt werden (\(G_i \| D_i)\), die Seiten \(l_3, l_1, l_2\) bezw. in drei Punkten \(n_3, n_1, n_2\), welche einer und derselben Geraden angehören.