Über Flächen von konstanter Gaußscher Krümmung. (Q1511098)

Beltrami versuchte den Nachweis der Widerspruchslosigkeit des \textit{Lobatschefsky-Bolyai}schen Formelsystems für den nichteuklidischen Raum durch die Gültigkeit dieses Systems auf den Flächen konstanter negativer Krümmung im euklidischen Raum zu erbringen. Gegen dieses Verfahren läßt sich erstens einwenden, daß\ damit nur die Möglichkeit und Widerspruchslosigkeit der nichteuklidischen \textit{Ebene} bewiesen wird, daß\ dagegen die logische Möglichkeit des entsprechenden Raumes noch eines weiteren Schlußverfahrens bedarf. Zweitens aber war keine singularitätenfreie, nach allen ihren Richtungen ins Unendliche erstreckte Fläche konstanter Krümmung bekannt. Die aus diesem zweiten Punkt abzuleitenden Einwände sind meines Erachtens zu widerlegen (und meines Wissens ist \textit{Helmholtz} der erste, der dies erkannte) durch die Tatsache, daß\ jedes Stück einer Fläche konstanter negativer Krümmung, sofern es an eine singuläre Stelle stößt, durch Verschieben in der Fläche von dieser Stelle entfernt und sodann über den gefährdeten Punkt wieder analytisch fortgesetzt werden kann. Speziell kann auf der Pseudosphäre jede \textit{endliche} Figur der nichteuklidischen Ebene konstruiert werden, wenn man die Fläche noch mehrblättrig macht. Bei einiger Vorsicht in der Begriffsbestimmung ist es meines Erachtens möglich, hiermit die Widerspruchslosigkeit des ebenen nichteuklidischen Formelsystems auf dem \textit{Beltrami}schen Wege zu erweisen. Nachdem nun auf anderen Wegen die logische Möglichkeit der nichteuklidischen Geometrie einfacher und auch befreit von dem ersten Einwand nachgewiesen ist, ist das Interesse für die Frage nach der Durchführbarkeit des \textit{Beltrami}schen Gedankengangs naturgemäß\ ein geringeres geworden. Immerhin ist die Frage nach der Existenz singularitätenfreier, analytischer Flächen von konstanter negativer Krümmung einmal aufgeworfen, und \textit{Hilbert} beantwortet sie in der vorliegenden Arbeit durch den Nachweis, daß\ solche Flächen nicht existieren. Es wird gezeigt, daß\ man auf solchen Flächen durch Betrachtung der Asymptotenlinien eine obere Grenze für den Flächeninhalt finden müßte, was der Formel über den Inhalt der geodätischen Kreise widerspricht. Im Anschlusse daran beweist \textit{Hilbert} einen nicht minder interessanten Satz über Flächenstücke konstanter positiver Krümmung. Sind die Krümmungsradien nicht in allen Punkten des Flächenstückes einander gleich (dann wäre die Fläche selbst eine Kugel), so gibt es einen größten und einen kleinsten Wert des Krümmungsradius, die beide, sofern sie überhaupt auf dem Flächenstück auftreten, naturgemäß\ am gleichen Punkt vorkommen. \textit{Dieser Punkt liegt stets auf dem Rand des Flächenst\"cks.} Daraus folgt, daß\ eine im Endlichen geschlossene, singularitätenfreie Fläche konstanter positiver Krümmung, da sie keinen Rand hat, notwendig eine Kugel ist, in Übereinstimmung mit dem \textit{Liebmann}schen Satze, daß\ die Kugel nicht singularitätenfrei deformiert werden kann.