On discriminants and envelopes of surfaces. (Q1511144)

Wie man weiß, ist die Diskriminante \(\varDelta\) einer binären Form \(F\) in der Form \(AF+BF'\) darstellbar, wo \(F'\) die Ableitung nach der nicht homogenen Variable \(t\), ferner \(A,B\) bestimmte binäre Formen sind. Verschwindet \(\varDelta\), so haben die Gleichungen \(F=0, F'=0\) eine gemeinsame Wurzel, etwa \(t_1\). Im folgenden sind ``Gleichheiten'', die nur unter den Bedingungen \(\varDelta =0\), \(t=t_1\) gelten, zu unterscheiden von ``Identitäten'', die für alle Werte der Koeffizienten und von \(t\) gültig bleiben. Die Werte von \(A, B, A', B', \dots\) für \(t=t_1\) findet man durch wiederholte Differentiation der Identität \(\varDelta \equiv AF +BF'\). Für \(\varDelta =0\), \(t=t_1\) kommt dann \(B=0, A+ 2B' =0\). Bedeutet \(\delta\) einen Differentialoperator, der sich nur auf die Koeffizienten von \(F\) (und nicht auf \(t\)) bezieht, so wird \(\delta \varDelta = A\delta F\). In analoger Weise wird die Annahme verfolgt, daß\ \(t=t_1\) eine dreifache Wurzel von \(F\) sei. Dann ist für \(t=t_1\) gleichzeitig \[ \varDelta =0,\quad F=0,\quad F'=0,\quad F''=0 \] und damit auch \[ A=0,\quad A'=0,\quad B=0,\quad B'=0,\quad B''=0,\quad A'' +B'''=0. \] Dann ist \(\delta \varDelta =0\), und \(F''' \delta A - A'' \delta F'\) enthält \(\delta F\) bis auf einem unwesentlichen Faktor. Nunmehr sei \(F\) algebraisch sowohl in den Koordinaten \(x,y,z\) als im Parameter \(t\), so daß\ \(F(x,y,z,t)=0\) eine ``Familie'' von Flächen darstellt. Die Fläche (Enveloppe) \(\varDelta =0\) berührt dann \(F\) längs der Kurve (Charakteristik) \(F=0\), \(\frac{\partial F}{\partial t} =0.\) Die Punkte, in denen eine Charakteristik eine benachbarte trifft, sind, da für sie \(\frac{\partial \varDelta}{\partial x} =0\), \(\frac{\partial \varDelta}{\partial y} =0\), \(\frac{\partial \varDelta}{\partial z} =0\), singuläre Punkte der Fläche \(\varDelta\). Der Tangentenkegel ist \(\delta^2 \varDelta =0\), der aber in zwei zusammenfallende Ebenen \(\delta F=0\) (Tangentialebene von \(F\)) ausartet. Die Gleichungen \(F=0\), \(\frac{\partial F}{\partial t} =0\), \(\frac{\partial^2 F}{\partial t^2} =0\) stellen daher die Rückkehrkante von \(\varDelta\) dar; sie liegt auf der Enveloppe von \(A\) und ist zugleich Kante der Enveloppe von \(B\). Die obige Gleichung \[ A'' \delta F + F'''\delta B=0 \] sagt aus, daß\ die Enveloppen von \(F\) und \(B\) dieselbe Rückkehrkante und überdies dieselbe Tangentialebene in jedem ihrer Punkte besitzen. Da endlich aus \(\delta \varDelta' =0\) folgt: \(A' \delta F+ \delta B \cdot F''=0\), so berühren entsprechende Mäntel der Enveloppen von \(F\) und \(B\) einander längs ihrer gemeinsamen Knotenlinie.