Sulle superficie razionali di \(5^\circ\) ordine. (Q1511190)

Die Arbeit, welche die Aufsuchung unbekannter Typen von rationalen \(F_5\) zum Ziel hat, studiert zunächst für eine \(F_n\) den Einfluß\ isolierter mehrfacher Punkte mit oder ohne hindurchgehende mehrfache Kurven, von mehrfachen Kurven und gewissen höheren Singularitäten auf das Flächengeschlecht \(p_n\) und das ``Bigenus'' \(P\), d. h. die Zahl der linear unabhängigen bikanonischen Kurven (\textit{Enriques}, Mem. soc. It. (3) 10) sowie das Verhalten der biadjungierten Kurven in solchen Singularitäten. Es gibt nun resp. 2, 4, 9, 6 Singularitäten, welche das Flächengeschlecht um 1, 2, 3, 4 Einheiten erniedrigen. Bezeichnen wir diese Singularitäten resp. mit \(A, B, C, D\), so haben wir folgende Typen rationaler \(F_5\): \(F_5\) mit vier Punkten \(A\); \(F_5\) mit zwei Punkten \(B\); \(F_5\) mit zwei Punkten \(A\) und einem Punkte \(B\); \(F_5\) mit einem Punkte \(A\) und einem Punkte \(C\); \(F_5\) mit einem Punkte \(D\). Von diesen müssen aber vier Fälle ausgeschlossen werden, weil nach einem Satze von \textit{Castelnuovo} (Mem. Soc. It. (3) 10) es zur Rationalität einer \(F_n\) nicht genügt, daß\ das Flächengeschlecht Null ist; sondern es müssen auch keine biadjungierten \(F_{2(n-4)}\) existieren, außer denjenigen, welche die Grundfläche enthalten; es muß, mit andern Worten, das Bigenus Null sein. Zum Schluß\ macht der Verf. noch einige Bemerkungen über eine Arbeit von \textit{Montesano} (vorstehend besprochen, siehe JFM 32.0644.03).