Sulla teoria delle congruenze di curve in una varietà qualunque a tre dimensioni. (Q1511231)

Die Abhandlung hat den Zweck, die Untersuchungen der Differentialgeometrie der Raumkurven und Flächen zu übertragen auf die Kurven-Kongruenzen und -Komplexe, und zwar handelt es sich hauptsächlich um die Krümmungseigenschaften und die Sätze über die bekannten besonderen Flächenkurven. Verf. bedient sich bei seinen Untersuchungen der von \textit{Ricci} ausgebildeten Methoden der absoluten Differentialrechnung, welche man bezeichnen könnte als symbolischen Invariantenkalkul der Differentialgeometrie. \textit{Ricci} hat zuerst die in der vorliegenden Note für Kongruenzen und Komplexe gebrauchten Invarianten aufgestellt und als Kongruenzen gedeutet, worüber kurz referiert sein möge. In einem ebenen Raum \(R_n\) mit den kartesischen Koordinaten \(y\) wird eine dreidimensionale Maunigfaltigkeit \(M_3\) angenommen mit dem Linienelement: \[ ds^2 = \sum_1^3{^{rs}} a_{rs} dx_r dx_s \equiv \varphi \] und in dieser eine Kurvenkongruenz mit dem Linienelement \(ds\) durch die Gleichungen: \[ \lambda^{(r)} = \frac{dx_r}{ds} \qquad (r= 1,2,3) \] wo die \(\lambda^{(r)}\) so gewählt sind, daß\ durch jeden Punkt der \(M_3\) \textit{eine} Kurve der Kongruenz geht. Nach dem absoluten Differentialkalkul gehört nun zu dem System \(\lambda^{(r)}\) zunächst ein System zugeordneter Kovarianten \[ \lambda_r = \sum_1^3 {^s} a_{rs} \lambda^{(s)} \] und die kovarianten Ableitungen \(\lambda_{rs}\) der \(\lambda_r\) nach \(x_s\). Für diese Größen gelten eine Anzahl von Identitäten; insbesondere ist: \[ \sum \lambda^{(r)} \lambda_r =1. \] . Sind nun 3 Kongruenzen gegeben: \(\lambda_1, \lambda_2\) und \(\lambda_3 = \lambda\), so wird eine beliebige derselben mit \(\lambda_h\) bezeichnet und deren erste und zweite kovariante Ableitung mit \(\lambda_{h | r}\) und \(\lambda_{h| rs}\). \textit{Ricci} hat für solche Tripelsysteme folgendes System von Invarianten eingeführt: \[ \gamma_{hkl} = \sum{^{rs}} \lambda_{h| rs} \lambda_k^{(r)} \lambda_l^{(s)}, \] für welche man hat: \[ \gamma_{hkl} + \gamma_{hkl} =0. \] Zusammen mit einer Kongruenz \(\lambda\) betrachtet Verf. gleichzeitig den orthogonalen Komplex \(\lambda\) als den Inbegriff sämtlicher Orthogonalkurvenkongruenzen der Kongruenzen \(\lambda\). Dieser Komplex besitzt in jedem Punkte eine Tangentialebene und \(\infty^1\) Normalebenen, welche die Kongruenz \(\lambda\) berühren. Ist \(P\) ein Punkt der \(M_3\), durch welchen zwei Kurven der Kongruenzen \(\lambda\) und \(\lambda_h\) unter dem Winkel \(\frac{\pi}{2} -\alpha\) gegen einander geneigt hindurchgehen, so ist die Elementardrehung \(d\alpha\) der Kongruenz \(\lambda (=\lambda_3)\) um \(\lambda_h\) gegeben durch die Gleichung \[ \frac{d\alpha}{ds_h} =(-1)^h \gamma_{3kh} \qquad (k\neq 3,h). \] Die Summe der Elementardrehnungen \(2A\) der \(\lambda\) um zwei zu einander senkrechte Richtungen \(\lambda_1\) ist \(\lambda_2\)ist \[ 2A= \gamma_{312} - \gamma_{321}. \] Eine geeignete Spezialisierung dieser Definition führt auf die \textit{Normalkrümmung} einer \(\lambda_h\) d. i. die Krümmung der Projektion einer \(\lambda_h\) auf eine Normalebene des orthogonalen Komplexes \(\lambda\), welche \(\lambda_h\) berührt: \[ \frac{d\alpha}{ds_h} = \gamma_{3hh}, \] und es ist die Summe der Normalkrümmungen zweier zu einander senkrechten \(\lambda_1, \lambda_2\): \[ 2H= \gamma_{311} + \gamma_{322} = \sum{^{rs}} a^{(rs)} \lambda_{rs}, \] so daß\ diese Summe für irgend zwei Orthogonalkongruenzen des Komplexes \(\lambda\) dieselbe ist und als \textit{mittlere Krümmung} des Komplexes bezeichnet werden kann. \textit{Tangentialkrümmung} einer \(\lambda_h\) ist die Krümmung der Projektion der \(\lambda_h\) auf die Tangentialebene des Komplexes \(\lambda\); \(\frac{d\alpha}{ds_h} =\gamma_{khh}\). Hieran schließen sich die Definitionen verschiedener Komplexkurven: 1. \textit{Kanonische Orthogonaltrajektorien}: Durch jeden Punkt \(P\) eines Komplexes gehen zwei zu einander senkrechte Kurven, längs deren die Elementardrehung der \(\lambda\) gleich \(A\) ist, sie sind stets reell und ihre Gleichung ist \(\gamma_{312} + \gamma_{321} =0\). 2. Ferner sind die reellen Halbierungslinien dieser Trajektorien mit der Gleichung \(\gamma_{311} - \gamma_{322} =0\) Kurven, längs denen die Normalkrümmung gleich der mittleren Krümmung ist. 3. \textit{Geodätische Linien} des Komplexes, solche Kurven, längs welchen die Variation von \(s_h\) verschwindet. Sie sind Kurven mit der Bedingung \(\gamma_{hkh} =0\) oder Kurven mit der Tangentialkrümmung Null; für sie ist \(\varSigma_s \lambda_{h| rs} \lambda_h^{(s)} =0\). Analog den bekannten Definitionen läßt sich in jedem Punkte \(P\) einer \(\lambda\) die (erste) \textit{geodätische Krümmung} \(c= \gamma_{313}^2\), \(\gamma_{322}^2 =0\) und die \textit{zweite geodätische Krümmung} oder Torsion \(\tau = \gamma_{123} + \frac{1}{c^2} \left( \gamma_{313} \frac{d\gamma_{323}}{ds} - \gamma_{323} \frac{d\gamma_{313}}{ds} \right)\) definieren; man findet z. B. den Satz: Die Summe der geodätischen Torsionen zweier Orthogonalkongruenzen eines Komplexes ist für einen bestimmten Punkt derselben konstant. \textit{Krümmungslinien} \([\gamma_{321} = 0]\) eines Komplexes sind solche, längs die Normalen des Komplexes eine abwickelbare Fläche bilden; es gehen durch einen Punkt höchstens zwei Krümmungslinien, und ihre geodätische Torsion ist Null; durch diese Krümmungslinien erhält man für jeden Punkt die 2 \textit{Hauptkrümmungen} \(\omega_1 = \gamma_{311}\), \(\omega_2 = \gamma_{322}\). Man kann bei gegebener Kongruenz stets solche Komplexe bestimmen, für welche sie die Krümmungslinien enthält. Das Produkt der beiden Hauptkrümmungen gibt die \textit{Totalkrümmung} \(K\) für einen Punkt des Komplexes, während unter \textit{mittlerer Krümmung} \(H\) die durch die Gleichung \(2H = \omega_1 + \omega_2\) definierte Größe verstanden wird. Die größte \((C_1)\) oder kleinste \((C_2)\) Normalkrümmung besitzen aber nicht die Krümmungslinien durch einen Punkt, sondern die kanonischen Orthogonaltrajektorien, und es ist \(C_1 C_2 =K- A^2\). Zu jedem Punkte des Komplexes gehört eine Krümmuugs- und eine Torsionsindikatrix, d. h. eine Kurve zweiter Ordnung, deren Durchmesser die Krümmungen der Kurven in den gleichen Richtungen ergeben. Über diese so definierten Linien werden nun Untersuchungen angestellt, wie: Für welche Punkte eines Komplexes sind die Krümmungslinien und für welche die asymptotischen Linien reell? Die Punkte einer \(\lambda\), welche die Punkte mit reellen oder imaginären Krümmungslinien trennen, heißen ``\textit{extreme Punkte}''. Die Punkte der Kurvenkongruenz, in welchen die zugehörige Tangentenkongruenz Grenzpunkte hat, heißen selbst \textit{Grenzpunkte}. Außerdem werden noch die \textit{Punkte der Totalkrümmung Null} mit der Gleichung \(K= 0\), \textit{Kreispunkte} mit kreisförmiger Indikatrix zu der Gleichung \(A^2 + H^2 - K=0\) und \textit{Fokalpunkte} eingeführt. Eine weitere Untersuchung beschäftigt sich mit den assoziierten Kongruenzen \(\lambda_1\) und \(\lambda_1'\). Es heißen zwei Kongruenzen assoziiert, wenn die Tangenten der einen \(\lambda_1'\) zusammenfallen mit den Schnittlinien der Tangentialebenen des Komplexes in zwei benachbarten Punkten der Kongruenz \(\lambda_1\); speziell wird die Frage angeschnitten, wann die \(n\)-te Assoziierte zusammenfällt mit der ursprünglichen Kongruenz. In einem Schlußkapitel werden die gefundenen Resultate spezialisiert auf Geradenkongruenzen, und der Verf. findet dabei eine Reihe wohlbekannter Sätze von \textit{Guichard} und \textit{Levi-Civita} wieder.