Conformal space transformations. (Q1511244)

\textit{Liouville} hat den Satz aufgestellt, daß\ jede konforme Transformation des Raumes, abgesehen von Rotationen und Translationen, auf eine Transformation durch reziproke Radien (Inversion) hinauskommt. Der Verf. gibt von dem Satz einen Beweis, der auf den Prinzipien der infinitesimalen Transformationen beruht, indem er eine Methode \textit{Lies} für die Aufsuchung der kontinuierlichen Bewegungen des Raumes verallgemeinert. (\textit{Lie-Scheffers} Berührungstr. S. 206) Es sei eine konforme infinitesimale Transformation gegeben: \[ \delta x= X\delta t, \quad \delta y= Y\delta t, \quad \delta z = Z\delta t, \] so schließt der Verf. aus der Bemerkung, daß\ \[ \frac{\delta ds}{ds} = \frac{ds \cdot \delta ds}{ds^2} \] unabhängig sein muß\ von \(dx : dy : dz\), auf das Bestehen der Differentialgleichungen: \[ \frac{\partial X}{\partial x} = \frac{\partial Y}{\partial y} = \frac{\partial Z}{\partial z} =f, \] \[ \frac{\partial Z}{\partial y} + \frac{\partial Y}{\partial z} =0 \] und zweier weiteren, die aus der letzten Gleichung durch Vertauschung folgen. Durch Integration der Differentialgleichungen gelangt man zu der bekannten zehngliedrigen Gruppe infinitesimaler konformer Transformationen. Damit ist dann leicht vollends zu schließen, daß\ die allgemeinste konforme Transformation, abgesehen von Bewegungen, aus \textit{zwei} aufeinander folgenden Inversionen sich zusammensetzt. Die Ausdehnung des Satzes auf \(n\) Dimensionen geschieht nach denselben Prinzipien im zweiten Abschnitt der Untersuchung. Es sind übrigens die Voraussetzungen über die Funktionen \(X, Y, Z\) nicht genauer präzisiert, so daß\ das Resultat im allgemeinen gültig ist.