Second complément à l'analysis situs. (Q1511349)

Der Verf. setzt hier die Ausführungen zu seinen allgemeinen Untersuchungen über die Analysis Situs der Mannigfaltigkeiten im \(R_n\) (F. d. M. 26, 541, 1895, JFM 26.0541.07), zu denen ihn die Heegard'sche Kritik veranlasst hatte (F. d. M. 29, 529, 1898, JFM 29.0529.01; 30, 435, 1899, JFM 30.0435.02), weiter fort. Er beschäftigt sich insbesondere mit gewissen Zahlenmatrizen, die für die Polyeder des \(R_n\) charakteristisch sind, und die folgendermassen definirt sind. Sei \(v_q^i\) irgend eine Mannigfaltigkeit, der Dimension \(q\), die der Grenze des Polyeders angehört, und \(v_{q-1}^j\) eine analoge Mannigfaltigkeit der Dimension \(q-1\). Dann kann man eine Zahl \(\varepsilon_{ij}^q\) definiren, die 0 oder \(\pm1\) ist, jenachdem \(v_{q-1}^j\) einen Bestandteil der Grenze von \(v_q^i\) bildet, oder nicht, und zwar ist \(\varepsilon=+1\), wenn \(v_q^i\) und \(v_{q-1}^j\) in ``directer'' Beziehung stehen, die folgendermassen bestimmt ist. Sind \[ F_1=0,\,F_2=0,\,\dots, F_{n-q}=0,\, F_{n-q+1}=0 \] die Gleichungen, die (im Verein mit gewissen Ungleichungen \(\varphi_a>0\)) \(v_{q-1}^j\) definiren, so soll \(v_q^i\) von den Ungleichungen \(\varphi_a>0\) abgesehen, durch \[ F_1=0,\,F_2=0,\,\dots, F_{n-q}=0,\, F_{n-q+1}>0 \] definirt sein. Dagegen ist \(\varepsilon=-1\), wenn \(v_q^i\) und \(v_{g-1}^g\) in ``indirecter'' Beziehung stehen, was z. B. eintrifft, wenn \(v_q^i\) durch \[ F_1=0,\,F_2=0,\,\dots, F_{n-q}=0,\, F_{n-q+1}<0 \] definirt ist. Mit den so definirten Ziffern \(\varepsilon_{ij}^q\) kann man nun Matrizen bilden; die Untersuchung solcher Matrizen und ihre Bedeutung für die Natur und den Zusammenhang der Polyeder bildet den Hauptinhalt der Arbeit. Sie enthält insbesondere einen Satz, der die Bedingung angiebt, die die Matrizen erfüllen müssen, damit ein Polyeder, dessen sämtliche Betti'sche Zahlen gleich 1 sind, einfach zusammenhängend ist.