Vielecke und Vielflache; Theorie und Geschichte. (Mit 7 lithogr. u. 5 Lichtdr.-Doppeltafeln sowie vielen Textfig.). (Q1511358)

Durch Zusammenfassen des äusserst zerstreuten Materials über Polygone und Polyeder füllt das Buch zweifellos eine sehr fühlbare Lücke aus. Allerdings bedingt die Rücksicht auf die elementaren Vorkenntnisse, die dasselbe bei dem Leser voraussetzt, das Wegbleiben zweier Gebiete, nämlich der Lehre von den \(n\)-dimensionalen Gebilden, die übrigens der Verf. bereits früher (F. d. M. 25, 1028, 1894, JFM 25.1028.01) dargestellt hatte, und der Lehre von den gruppentheoretischen Anwendungen der Polygone und Polyeder. Der erste Abschnitt ist der allgemeinen Theorie der Polygone gewidmet. Bei der Klassification derselben spielt die Art \(a\), d. h. das Verhältnis der Summe der Aussenwinkel (nach gewöhnlichem Sprachgebrauch) zu 4 Rechten, und die Zahl \(k\) der überstumpfen Innenwinkel die Hauptrolle. Von Wichtigkeit sind hier, wie in allen späteren Abschnitten, die geschichtlichen Bemerkungen. Den ersten klaren Begriff von einem Polygon hatte Girard (1626), den allgemeinen Begriff eines solchen schuf Meister (1770). Die allgemeine Vieleckslehre rührt von Wolf (1847) und Wiener (1864) her. Die auf ungenügender Kenntnis der Litteratur beruhende Arbeit von Dostor (1880) bedeutet einen Rückschritt. Der zweite Abschnitt, den besonderen Polygonen gewidmet, bringt zunächst die regelmässigen Polygone, deren Theorie man Poinsot (1810) verdankt. Unter den mit Zirkel und Lineal construirbaren ist das von J. Hermes untersuchte 65537-Eck hervorzuheben. Die halbregelmässigen Vielecke erwähnt zuerst Hessel (1830); ihre Theorie ist von Hess (1874) gegeben worden. Nach Aufzählung derselben wird auch den sphärischen Polygonen eine kurze Betrachtung gewidmet. Im dritten Abschnitt, der die allgemeine Theorie der Polyeder behandelt, steht der Euler'sche Satz (1758) im Mittelpunkte der Untersuchungen. Es werden vier Gruppen von Beweisen desselben unterschieden. Die Verallgemeinerung des Euler'schen Satzes für nichteulersche Polyeder bildet den zweiten Teil dieses Abschnitts. Die bisher vorliegende Darstellung des Euler'schen Satzes für einseitige Polyeder erklärt der Verf. für noch nicht erschöpfend und streng. Der vierte Abschnitt handelt von den Euler'schen Polyedern im besonderen. Zunächst kommt die Einteilung der Polyeder in drei Klassen, je nachdem sie 1, 2, oder 3 Scheitelflächensysteme besitzen. Was die Aufzählung der möglichen Typen Euler'scher Körper betrifft, so bespricht der Verf. insbesondere die Arbeiten von Kirkman (die jedoch nicht alle erwähnt werden) und Hermes. Weiter kommt die charakteristische Gleichung \(\sum\limits_3^n (6-r)f_r=12\), wenn \(f_r\) die Zahl der \(r\)-Ecke des Polyeders ist und dasselbe höchstens \(n\)-Ecke besitzt. Aus derselben folgt \[ 3f_3 + 2f_4 + f_5 - 12 = \sum_7^n(r-6)f_r = m \] (die beiden Stammgleichungen). Die Zahl \(m\) bestimmt den Bereich des Polyeders, die Lösungssysteme \(f_3\), \(f_4\), ... der Stammgleichungen den Stamm desselben; je nach der Anordnung der Flächen des Lösungssystems und je nach der Zahl der zugefügten Sechsecke zerfallen die Formen eines Stammes in Familien. Den Schluss des Abschnitts bildet die Lehre von den Hexagonoiden, d. h. den nur von Sechsecken begrenzten Polyedern. Der fünfte Abschnitt ist den besonderen Euler'schen Polyedern, den regulären Archimedischen, gleicheckigen und gleichflächigen gewidmet. Der sechste Abschnitt behandelt die besonderen höheren, d. h. nichteulerschen Polyeder, insbesondere die zwei Kepler'schen Sternkörper, als deren Entdecker Kepler im Gegensatz zu Jamitzer nachgewiesen wird. Die ausführliche Theorie der regulären Polyeder höherer Art wurde von Poinsot und Cauchy gegeben. Den Hauptteil des Abschnitts bildet die Lehre von den gleicheckigen und gleichflächigen höheren Polyedern, hauptsächlich auf Grund von Arbeiten von Hess. Dem Buch ist zwar kein Litteraturverzeichnis, wohl aber ein Namen- und Sachregister beigegeben. Die Litteratur ist sorgfältig benutzt worden; auf die Aufzählung kleinerer Arbeiten, in welchen nichts wesentlich Neues enthalten ist, hat sich der Verf. nicht eingelassen. Von der grössten Bedeutung sind die 12 grossen Tafeln, auf welchen die meisten der besprochenen Körper nach des Verf. grosser Modellsammlung in deutlichem und schönem Lichtdruck abgebildet sind. Viele der Körper haben hier zum ersten Male eine bildliche Darstellung gefunden.