Bewegungen und Umlegungen der Ebene bei projectiver Massbestimmung. Untersuchungen zur nichteuklidischen Geometrie. (Q1511501)

Im ersten Teile der Arbeit (S. 1-27) nimmt der Verf. auf der projectiven Ebene einen beliebigen Anfangspunkt \(O\), denkt sich auf jeder Geraden durch \(O\) eine projective Massscala construirt und ebenso in dem Strahlenbüschel durch \(O\) eine solche Scala. Mit Hülfe der so erhaltenen Polarcoordinaten bildet er dann die projective Ebene durch Formeln, die eigentlich vom Himmel herabfallen, auf die euklidische Ebene ab, und erhält so homogene Punkt- und Liniencoordinaten, die mit den sogenannten Weierstrass'schen Coordinaten identisch sind. Dabei unterscheidet er zwischen der einfachen und der erweiterten projectiven Ebene: jener entspricht eine einseitige, dieser eine zweiseitige euklidische Bildebene. Die verschiedenen Fälle der hyperbolischen, elliptischen und parabolischen Massbestimmung werden sorgfältig charakterisirt. In Teil 2 (S. 28-64) werden die Formeln für die Bewegungen und Umlegungen der projectiven Ebene abgeleitet, indem nach dem Verfahren von Cayley die projectiven Transformationen aufgestellt werden, die den Fundamentalkegelschnitt invariant lassen. Leider wird der Beweis dafür, dass jede Transformation dieser Art sich auf eine der angegebenen zurückführen lässt, nicht mitgegeben. Die verschiedenen Arten von Bewegungen und Umlegungen werden charakterisirt. Im dritten Teile (S. 65-99) studirt der Verf. die Zusammensetzung von Bewegungen und Umlegungen, nachdem er vorher eine grosse Anzahl von Constructionen der nichteuklidischen Geometrie zusammengestellt hat, die in der That schön und einfach sind, die aber vielfach deshalb unbefriedigend sind, weil die zu construirenden Stücke meist nur durch Formeln und nicht rein geometrisch definirt sind.