Lehrsätze über lineare Mannigfaltigkeiten projectiver Kugelbüschel, Kugelbündel und Kugelgebüsche. (Q1511514)

Die Gesamtheit aller Kugeln des Raumes bietet eines der einfachsten Beispiele einer linearen Mannigfaltigkeit von vier Dimensionen, und darum ist die Kugelgeometrie ganz besonders geeignet, den abstracten Untersuchungen des vierdimensionalen Raumes ein anschauliches Substrat zu liefern. Man darf sich alsdann nicht auf die Betrachtung reeller Kugeln beschränken, sondern muss auch diejenigen in Betracht ziehen, welche bei reellem Mittelpunkt einen rein imaginären Radius besitzen. Innerhalb der Gesamtheit hat man dann als lineare Gebilde von geringerer Dimension Kugelbüschel \((M_1)\), Kugelbündel \((M_2)\), Kugelgebüsche \((M_3)\) zu unterscheiden. (Der Index bezeichnet die Dimensionenzahl.) Der Umstand, dass die Potenzebenen, welche die Kugeln einer \(M_i\) mit zwei beliebigen festen Kugeln bestimmen, einander in projectiven Ebenenbüscheln, -bündeln oder Räumen entsprechen, führt zum Begriff der projectiven Beziehung zwischen zwei \(M_i\). Das Gebiet der Kugelgeometrie, welches in der vorliegenden Arbeit behandelt wird, umfasst diejenigen Kapitel, welchen in der projectiven Geometrie der Punkte und Ebenen des Raumes die Lehre von der Erzeugung der Regelflächen zweiten Grades, der Raumcurven dritter Ordnung, der Flächen dritter Ordnung durch projective Ebenenbüschel und -bündel und die hierzu reciproken Betrachtungen entsprechen. Beispielsweise hat man in den \(\infty^1\) projectiven Bündeln, welche das Secantensystem, und in den \(\infty^2\) Büscheln, welche die Punkte einer Raumcurve dritter Ordnung erzeugen, zwei Systeme von (\(\infty^1\), bez. \(\infty^2\)) Gebilden, welche in der Beziehung zu einander stehen, dass die Elemente, welche in den Gebilden des einen Systems einander zugeordnet sind, insgesamt ein Gebilde des anderen Systems constituiren, und umgekehrt. In gleicher Weise kann man für jedes Zahlenpaar \(i\), \(k\) \((=1,2,3)\) (auf mannigfache Weise) ein System von \(\infty^k\) projectiven Kugelmannigfaltigkeiten \(M_i\) und ein zweites System von \(\infty^i\) projectiven Kugelmannigfaltigkeiten \(M_k\) angeben von folgender Beschaffenheit. Je \(\infty^k\) (\(\infty^i\)) Kugeln, welche einander in den \(\infty^k\) (\(\infty^i\)) Mannigfaltigkeiten \(M_i\) \((M_k)\) zugeordnet sind, constituiren eine der \(\infty^i\) (\(\infty^k\)) Mannigfaltigkeiten \(M_k\) \((M_i)\). Den 6 möglichen Zahlenpaaren \((ik) = (11),\, (12),\, (13),\, (22),\, (23),\, (33)\) entspricht die Einteilung des Stoffes in 6 Paragraphen. Von den Kugelmannigfaltigkeiten höheren Grades, welche sich bei diesen Betrachtungen ergeben, seien die (aus \(\infty^3\) Kugeln bestehenden) Complexe hervorgehoben. Es ergeben sich in voller Allgemeinheit die Complexe der ersten vier Grade. Die in einem Complex vom Grade \(r\) enthaltenen Punktkugeln bilden eine Fläche vom Grade \(2r\). Die so erhaltenen speciellen Flächen \(2r\)-ten Grades sind dadurch charakterisirt, dass sie durch den unendlich fernen Kugelkreis \(r\)-mal hindurchgehen. Durch Transformationen nach reciproken Radien werden sie in Flächen derselben Art übergeführt. Man erhält für \(r = 1\) die Kugel, für \(r = 2\) die Darboux'sche Cyklide, welche zwei Scharen von Kreisen enthält, und für welche mehrere Erzeugungsarten angegeben werden.