Ricerche sugli spazi plurisecanti di una curva algebrica. (Q1511578)

Bedienen wir uns, dem Beispiel des Verf. folgend, der Schubert'schen Bezeichnungen, so bedeutet das Symbol \([k]\) einen \(k\)-dimensionalen linearen Raum. Man betrachte nun in \([n]\) eine Curve \(\Gamma\) der Ordnung \(m\) und des Geschlechtes \(p\) und die \([k]\) von \([n]\), welche \(\Gamma\) in \(i\) Punkten schneiden; ihre Zahl ist endlich, unendlich oder Null, je nachdem \((k + 1)(n - k)\) gleich, grösser oder kleiner als \(i(n - k + 1)\) ist. Nach Ausschluss der dritten Annahme als bedeutungslos beschäftigt sich der Verf. zuerst mit der ersten, welche auf die folgende Fundamentalaufgabe führt: ``Man soll die Zahl der eine Curve von \([n]\) \(i\)-schneidenden \([k]\) bestimmen, wo \(i = \frac{(k+1)(n-k)}{n-k-1}\).'' Wenn \(i = k + 2\) oder \(= 2(k+1)\) ist, so wurde dieselbe schon von Castelnuovo aufgelöst (vgl. F. d. M. 21, 674, 1889, JFM 21.0674.02). Der Verf. setzt eine Methode auseinander, um jenes Problem für rationale und elliptische Curven aufzulösen, nachdem er die Voraussetzung gemacht hat, dass die gesuchte Zahl \(F_p^m(k,q)\) \((q=i-k-1)\) nur von \(m\) und \(p\) abhängig sei, nicht aber von der Structur der betrachteten Curve. Die in Rede stehende Methode ist im Grunde eine Anwendung des Princips der Erhaltung der Anzahl, weil sie als Grundsatz die Substitution der gegebenen Curve für ein zusammenhängendes System von \(m\) Geraden hat, welche \(p+m-1\) einfache Durchschnitte besitzen. Unter Annahme der Rechtfertigung dieser Substitution (vgl. das Referat S. 549, siehe JFM 31.0549.02) zerlegt sich die Lösung der Fundamentalaufgabe in die folgenden drei: 1. Die Gruppen zusammenzusetzen, deren jede \(k + 1 + q\) der Geraden enthält, welche die gegebene Curve bilden. 2. Die \([k]\) zu berechnen, deren jeder in \(i\) verschiedenen Punkten die Geraden einer Gruppe treffen. 3. Die Summe der so entstehenden Zahlen zu bilden. Die erste dieser Fragen ist von der folgenden nicht verschieden: die ganzen nicht-negativen Wertsysteme von \(\alpha_1\), \(\alpha_2\), ..., \(\alpha_q\) zu finden, welche der Gleichung \(\alpha_1 + 2\alpha_2 +\cdots+ q\alpha_q = i\) genügen. Die zweite besteht in der Bestimmung dreier Functionen: \[ V_0^m(\alpha_1, \alpha_2,\dots, \alpha_q),\quad V_1^m(\alpha_1, \alpha_2,\dots, \alpha_q),\quad L(\alpha_1, \alpha_2,\dots, \alpha_q). \] Nun findet der Verf. für die beiden ersten die folgenden Werte: \[ \begin{multlined} V_0^m(\alpha_1, \alpha_2,\dots, \alpha_q) = \frac{(\alpha_1 +\cdots+ \alpha_q)!}{\alpha_1!\dots \alpha_q!} \binom{m-i+1}{\alpha_1 +\cdots+ \alpha_q}\\ = \binom{\alpha_1}{\alpha_1} \binom{\alpha_1+\alpha_2}{\alpha_2}\cdots \binom{\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_q}{\alpha_q} \binom{m-i+1}{\alpha_1 +\cdots+ \alpha_q},\end{multlined} \] \[ \begin{multlined} V_1^m(\alpha_1, \alpha_2,\dots, \alpha_q) = \binom{\alpha_1}{\alpha_1} \binom{\alpha_1+\alpha_2}{\alpha_1}\cdots \binom{\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_q}{\alpha_q}\\ \times \frac m{\alpha_1 +\cdots+ \alpha_q} \binom{m-i+1}{\alpha_1 +\cdots+ \alpha_q-1}.\end{multlined} \] Die Bestimmung von \(L(\alpha_1, \alpha_2,\dots, \alpha_q)\) ist eine Frage, welche durch Pieri in jedem besonderen numerischen Falle schon aufgelöst wurde (F. d. M. 1038, 1893-94, JFM 25.1038.02; 27, 453, 1896, JFM 27.0453.02); allgemein ist sie noch nicht aufgelöst worden. Der Verf. aber beleuchtet sie durch neue Betrachtungen; als Folgerung derselben mag die Möglichkeit der Bestimmung von \(L\) angeführt werden in den Fällen, wo \[ \alpha_2 =\cdots= \alpha_{i-1} = 0,\quad \alpha_i = 1,\quad \alpha_{i+1} =\cdots= \alpha_{n-1} = 0. \] An anderen Bemerkungen, welche für die Bestimmung von \(F_p^m(k,q)\) nützlich werden können, wie an einigen besonderen Anwendungen der allgemeinen Methode, müssen wir der Kürze wegen vorübergehen. Was aber nicht übergangen werden darf, ist, dass der Verf. im zweiten Kapitel seiner Abhandlung sich mit den \(\infty^{\frac{k+1}q}[k]\) beschäftigt, welche eine \(C_p^m\) des \(\left[k+1+\frac{k+1}q\right]\) \((k+q)\)-mal schneiden. Sie bilden eine Mannigfaltigkeit der Ordnung \(A_p^m(k,q)\), von der die gegebene Curve eine Curve der Vielfachheit \(B_p^m (k,q)\) ist; die Werte dieser zwei neuen Functionen werden vom Verf. der Reihe nach für \(q = 1\), 2, 3 gegeben. Mit der Aufzählung weiterer noch zu lösender Aufgaben schliesst die inhaltreiche Abhandlung.