I gruppi neutri con elementi multipli, in un' involuzione sopra un ente razionale. (Q1511580)

Es ist allgemein bekannt, dass man als Bild einer Involution \(I_r^n\) \(n\)-ter Ordnung und \(r\)-ter Stufe das Punktgruppensystem wählen kann, welches auf einer rationalen Curve \(C\) \(n\)-ter Ordnung des Raumes \([r]\) durch die \([r-1]\) desselben ausgeschnitten wird. Dies vorausgesetzt, ist das Problem, ``die Zahl der Gruppen von \(I_r^n\) zu finden, welche aus Punkten der Vielfachheit \(\nu_i(\geq1,\, \nu_1 > \nu_2 >\cdots,\,\nu_t)\) bestehen und die neutralen \(q\)-ter Art sind'', mit dem folgenden gleichwertig: ``wie gross ist die Zahl der \([k]\) von \([r]\), (wo \(k = \sum\limits_{i=0}^{i=t}\nu_i - (q+1)\) ist), welche mit \(Ct\) \(\nu_i\)-punktige \((i = 1,\dots,t)\) Berührungen haben?'' Wenn man nun annimmt, dass \[ (r-k)\sum \nu_i - t = (k+1)(r-k),\quad n\geq\sum\nu_i + r - k - 1 \] sei, so findet man für die gesuchte Zahl den folgenden Ausdruck: \[ \frac{\nu_1\nu_2\dots \nu_l}{\alpha_1!\alpha_2!\dots \alpha_l!} l!\binom tl \frac{\binom{n-k-1}{r-k} \binom{n-k-2}{r-k}\cdots \binom{n-k-q+1}{r-k} \binom{n-k-q}{r-k}}{\binom{r-k-q-1}{r-k} \binom{r-k-q-2}{r-k}\cdots \binom{r-k+1}{r-k} \binom{r-k}{r-k}}, \] wo \(l\) die Zahl der \(\nu\) bedeutet, welche von 1 verschieden sind, \(\alpha_1\) die Zahl derjenigen, welche gleich \(\nu_1\) sind, u. s. w. Sind alle \(\nu_i=1\), so reducirt sich dieser Ausdruck auf einen, welchen man W. Franz Meyer verdankt (``Apolarität und rationale Curven'', Tübingen 1883, S. 363). Die allgemeine Formel wird vom Verf. durch eine geistreiche Anwendung des Chasles'schen Correspondenzprincips erhalten.