Le coincidenze di una serie algebrica \(\infty^{(k+1)(r-k)}\) di coppie di spazi a \(k\) dimensioni, immersi nello spazio ad \(r\) dimensioni. (Q1511581)

Nach Schubert bezeichnet man mit \([k]\) einen linearen Raum \(k\)-ter Dimension und mit \([a_0, a_1,\dots, a_k]\) die Grundgebilde, welche aus allen \([k]\) besteht, die mit einem \([a_n]\) einen \([r]\) gemeinschaftlich haben (für \(r=0,1,\dots, k-1)\) und ferner in einem \([a_k]\) liegen, vorausgesetzt, dass \(0\leq a_0\leq a_1\leq\cdots\leq a_k\leq r\), dass \(r\) die Dimension des ganzen Operationsraumes, und dass \([a_i]\) in \([a_{i+1}]\) liege. Die Bedingung, dass ein \([k]\) einem Gebilde \([a_0, a_1,\dots, a_k]\) angehöre, hat die Dimension \[ d = (k+1)r - \frac{k(k+1)}2 - \sum_0^k a_i \] und wird mit \((a_0, a_1,\dots, a_k)\) bezeichnet. Dies vorausgesetzt, beweist der Verf. durch die vollkommene Induction den folgenden sehr allgemeinen und wichtigen Satz. ``Wenn ein algebraisches System \(\infty^{(k+1)(r-k)}\), welches ans Paaren \(S\), \(S'\) von \([k]\) besteht, eine endliche Zahl von Coincidenzen enthält, so ist ihre Zahl: \[ \sum (a_0,a_1,\dots,a_k)(r - a_k,r - a_{k-1},\dots, r - a_0)', \] wo das Symbol \((a_0,a_1,\dots,a_k)(r - a_k,r - a_{k-1},\dots, r - a_0)'\) die Zahl der Paare bezeichnet, in welchen \(S\) dem Gebilde \((a_0,a_1,\dots,a_k)\) und \(S'\) dem conjugirten Gebilde \((r - a_k,r - a_{k-1},\dots, r - a_0)\) angehört, und die Summe auf alle möglichen Producte obiger Art ausgedehnt wird.'' Die Fälle \(k=0\) und \(k=1\) sind bekannt; über den ersten vergleiche man die ``Memorie di geometria'' di E. Caporali und zwei Arbeiten von M. Pieri (F. d. M. 19, 668, 1887 und 23, 700, 1891, siehe JFM 19.0668.02 und JFM 23.0700.02); und über den zweiten einen Aufsatz des letzteren (F. d. M. 22, 687, 1890, JFM 22.0687.01). Zum Schlusse bemerkt der Verf., dass aus dem vorigen Satze eine Formel Schubert's (vgl. F. d. M. 18, 631, 1886, JFM 18.0631.01) ableitbar ist.