Die Kegelschnitte als Erzeugnisse der zwei-zweideutigen Focalstrahlen-Verwandtschaft. (Q1511644)

Zieht man durch einen Brennpunkt \(F\) eines Centralkegelschnittes \(K\) einen Strahl und weist diesem die nach seinen Schnittpunkten mit \(K\) durch den andern Brennpunkt \(F_1\) gezogenen Strahlen als entsprechende Strahlen zu, so sind hierdurch die Büschel \((F)\), \((F_1)\) zwei-zweideutig auf einander bezogen. Diese Verwandtschaft wird durch folgende Aufgabe einfach dargestellt: Es seien \(\Re\), \(\Re'\) zwei Kreise und \(A\) ein Aehnlichkeitspunkt derselben; ferner heisse \(a\) irgend ein durch \(A\) gehender Strahl, welcher \(\Re\) in \(P\) und \(Q\), \(\Re'\) in \(P'\) und \(Q'\) schneiden möge, und hierbei sollen \(P\), \(P'\) und \(Q\), \(Q'\) nicht homologe, sondern inverse Punkte sein. Endlich werden auf \(a\) die Punkte \(\mathfrak P\), \(\mathfrak D\) construirt, so dass \(A\mathfrak P = PP'\) und \(A\mathfrak D = QQ'\). Welche Curve beschreiben \(\mathfrak P\), \(\mathfrak D\), wenn \(a\) sich um \(A\) dreht? Es wird nun gezeigt, dass die fragliche Curve die Fusspunktencurve eines Centralkegelschnittes für \(A\) als Pol ist. Die Hauptaxe des Kegelschnittes fällt in die Centrale der Kreise \(\Re\), \(\Re'\). Wird \(A\) zum Coordinatenanfang genommen, und haben die Kreise \(\Re\), \(\Re'\) respective die Gleichungen \[ \begin{aligned} (x-m)^2 + y^2 &= r^2,\tag{\(\Re\)}\\ (x-km)^2 + y^2 &= k^2r^2,\tag{\(\Re'\)}\end{aligned} \] so wird die Gleichung dieses Centralkegelschnitts \[ \left[\frac{(X+2m) - (k+1)m}{(k+1)r}\right]^2 + \frac{Y^2}{(k+1)^2(r^2-m^2)} = 1, \] wo \(X\), \(Y\) die laufenden Coordinaten eines Punktes desselben sind. Es werden nun die Beziehungen zwischen den Bestimmungselementen dieses Kegelschnittes, der Lage der Kreise \(\Re\), \(\Re'\) und der Grösse der Radien ermittelt, woraus mehrere Sätze gewonnen werden. Nachher wird eine Sonderuntersuchung für die Parabel angestellt.