Contributo alla teoria del gruppo di 168 collineazioni piane. (Q1511697)

Eine ebene, allgemeine \(C_4\) kann, wie Scorza gezeigt hat (Math. Ann. 52, 457-461; F. d. M. 30, 491, 1899, JFM 30.0491.03), als Covariante \(S\) von 36 anderen \(C_4\) aufgefasst werden. Die Klein'sche \(C_4\), die bei der einfachen ternären linearen Substitutionsgruppe von 168 Transformationen, \(G_{168}\), invariant bleibt, hat bekanntlich die Eigenschaft, ihre eigene Covariante \(S\) zu sein. Der. Verf. fragt nach den anderen 35 \(C_4\), von denen die Klein'sche \(C_4\) Covariante \(S\) ist. Sein Resultat lautet: 14 dieser 35 \(C_4\) sind Invarianten für je eine der 14 Untergruppen 24. Ordnung der \(G_{168}\), die mit der Oktaedergruppe isomorph sind; die 21 übrigen \(C_4\) bleiben bei je einer der 21 Untergruppen \(G_8\) der \(G_{168}\) invariant. Diese 21 \(C_4\) sind projectiv nicht verschieden; die 14 \(C_4\) hingegen teilen sich in zwei Gruppen von je 7. Zwei \(C_4\) derselben Gruppe sind projectiv nicht verschieden, zwei \(C_4\) aus zwei verschiedenen Gruppen sind projectiv verschieden. Die erste Note (siehe JFM 31.0594.03) teilt die Resultate ohne Beweis mit, die zweite Arbeit liefert den Beweis. Der zweite Aufsatz enthält vorher eine Zusammenstellung der Eigenschaften der zu der \(G_{168}\) isomorphen Modulargruppe, die aus der Transformation 7. Ordnung der elliptischen Functionen entspringt, zum Schluss eine Besprechung der Lage der 24 Wendepunkte der Klein'schen \(C_4\) auf gewissen Kegelschnitten.